Опубликован: 26.09.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 1811 / 503 | Оценка: 4.25 / 4.12 | Длительность: 17:09:00
ISBN: 978-5-9556-0066-6
Специальности: Программист, Математик
Лекция 7:

Биномиальные и фибоначчиевы кучи

< Лекция 6 || Лекция 7: 12 || Лекция 8 >

Фибоначчиевы кучи

Название рассматриваемых куч связано с использованием чисел Фибоначчи при анализе трудоемкости выполнения операций. В отличие от биномиальных куч, в которых операции вставки, поиска элемента с минимальным ключом, удаления, уменьшения ключа и слияния выполняются за время O(\log n), в фибоначчиевых кучах они выполняются более эффективно. Операции, не требующие удаления элементов, в этих кучах имеют учетную стоимость O(1). Теоретически фибоначчиевы кучи особенно полезны, если число операций удаления мало по сравнению с остальными операциями. Такая ситуация возникает во многих приложениях.

Например, алгоритм, обрабатывающий граф, может вызывать процедуру уменьшения ключа для каждого ребра графа. Для плотных графов, имеющих много ребер, переход от O(\log n) к O(1) в оценке времени работы этой операции может привести к заметному уменьшению общего времени работы. Наиболее быстрые известные алгоритмы для задач построения минимального остовного дерева или поиска кратчайших путей из одной вершины используют фибоначчиевы кучи.

К сожалению, скрытые константы в асимптотических оценках трудоемкости велики и использование фибоначчиевых куч редко оказывается целесообразным: обычные двоичные ( d -ичные) кучи на практике эффективнее. С практической точки зрения желательно придумать структуру данных с теми же асимптотическими оценками, но с меньшими константами. Такие кучи будут рассмотрены в следующих разделах.

При отсутствии операций уменьшения ключа и удаления элемента фибоначчиевы кучи имели бы ту же структуру, что и биномиальные. Но в общем случае фибоначчиевы деревья обладают большей гибкостью, чем биномиальные. Из них можно удалять некоторые узлы, откладывая перестройку дерева до удобного случая.

Строение фибоначчиевой кучи. Каждая фибоначчиева куча состоит из нескольких деревьев. В отличие от биномиальных деревьев, здесь дети любого узла могут записываться в любом порядке. Они связываются в двусторонний циклический список. Каждый узел x этого списка имеет поля {\rm left} [x] и {\rm right}[x], указывающие на его соседей в списке. На рис. 7.2 показано схематическое строение фибоначчиевой кучи.


Рис. 7.2.

Двусторонние циклические списки удобны по двум причинам. Во-первых, из такого списка можно удалить любой узел за время O(1). Во-вторых, два таких списка можно соединить в один за время O(1).

Помимо указанной информации, каждый узел имеет поле {\rm degree}[x], где хранится его степень (число детей), а также поле {\rm mark} [x]. В этом поле хранится булевское значение. Смысл его таков: {\rm mark}[x] истинно, если узел x потерял ребенка после того, как он в последний раз сделался чьим-либо потомком. Позже будет ясно, как и когда это поле используется.

Корни деревьев, составляющих фибоначчиеву кучу, также связаны с помощью указателей {\rm left} и {\rm right} в двусторонний циклический список, называемый корневым списком. Таким образом, каждый узел фибоначчиевой кучи представляется записью вида

\eq*{
{\rm Node} = [{\rm key}, {\rm left},
{\rm right}, {\rm parent}, {\rm child}, {\rm degree}, {\rm mark}].
}

Доступ к куче H производится ссылкой {\rm minH} на узел с минимальным ключом. Кроме того, общее число узлов задается атрибутом n[H].

Потенциал. При анализе учетной стоимости операций используют метод потенциала. Пусть t(H) — число деревьев в корневом списке кучи H, а m(H) — количество помеченных узлов. Потенциал определяется формулой

\eq*{
\phi(H) = t(H) + 2 m (H).
}

В каждый момент времени в памяти может храниться несколько куч; общий потенциал по определению равен сумме потенциалов всех этих куч. В дальнейшем мы выберем единицу измерения потенциала так, чтобы единичного изменения потенциала хватало для оплаты O(1) операций (формально говоря, мы умножим потенциал на подходящую константу). В начальном состоянии нет ни одной кучи и потенциал равен 0. Как и положено, потенциал всегда неотрицателен.

Максимальная степень Через D(n) обозначим верхнюю границу для степеней узлов в кучах, которые могут появиться при выполнении операций. Аргументом функции D является общее число всех узлов в куче, обозначаемое через n.

Мы не будем углубляться в анализ трудоемкости операций с фибоначчиевыми кучами, отсылая читателя к соответствующей литературе [7], [19] скажем только, что D(n) = O(\log n) и все операции, кроме операции удаления элемента, имеют амортизационную трудоемкость O(1), а операция удаления — O(\log
n).

Фибоначчиевы кучи ввел М.Фредман и Р.Тарьян [17]. В их статье описаны также приложения фибоначчиевых куч к задачам о кратчайших путях из одной вершины, о кратчайших путях для всех пар вершин, о паросочетаниях с весами и о минимальном покрывающем дереве.

Впоследствии Д.Дрисколл и Р.Тарьян [16] разработали структуру данных, называемую {\rm relaxed heaps}, как замену для фибоначчиевых куч. Есть две разновидности такой структуры данных. Одна из них дает те же оценки учетной стоимости, что и фибоначчиевы кучи. Другая — позволяет выполнять операцию {\rm DecreaseKey} за время O(1) в худшем случае, а операции {\rm ExtractMin} и Delete — за время O(\log n) в худшем случае. Эта структура данных имеет также некоторые преимущества по сравнению с фибоначчиевыми кучами при использовании в параллельных алгоритмах.

< Лекция 6 || Лекция 7: 12 || Лекция 8 >
Антон Сиротинкин
Антон Сиротинкин

на стр 6, лекции 3, Очевидно "Ck <= модуль(Gk(е))*b(k+1)" (1) - , подскажите что значит "модуль" и почему это очевидно...