НОУ ИНТУИТ | Численные методы решения уравнений в частных производных. Лекция 6: Численное решение уравнений в частных производных эллиптического типа на примере уравнений Лапласа и Пуассона

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.10.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

6.2.2. Метод простых итераций с оптимальным параметром

Представим сеточную функцию невязки $r_{ml}^0$ , равную нулю на границе, в виде разложения по базису из собственных функций разностного оператора ( ${\Psi}_{ml}^{pq}$ — собственные функции оператора $\mathbf{\Lambda}$ )

$r_{ml}^{0} = \sum\limits_{pq}{c_{pq}{\Psi}_{ml}^{pq}}, c_{pq} = (r^0_{ml}, {\Psi}_{ml}^{pq}),$

при этом выполняется равенство Парсеваля

$\left\| {r_{ml}^0}\right\| = (r^0, r^0) = \sqrt{\sum\limits_{pq}{c_{pq}^2}} = \left\|{c}\right\|.$

Далее, используя это разложение, получим

$\begin{gather*} r^1 = ({\mathbf{E}} + \tau{\mathbf{\Lambda}})r^0 = ({\mathbf{E}} +{\tau}{\mathbf{\Lambda}}) \sum\limits_{pq}{c_{pq} {{\Psi}}^{pq}} = \\ = \sum\limits_{pq}{c_{pq}} ({\mathbf{E}} +{\tau}{\mathbf{\Lambda}}) {{\Psi}}^{pq} = \sum\limits_{pq}{c_{pq}} (1 -{\tau}{\lambda}^{pq}) {{\Psi}}^{pq}. \end{gather*}$

Здесь используется то, что $(1 -{\tau}{\lambda}^{pq})$ являются собственными числами оператора $({\mathbf{E}} +{\tau}{\mathbf{\Lambda}})$ . При сложении равенств ${\tau}{\mathbf{\Lambda}} \varphi_m^{p} = -{\tau} \lambda \varphi_m^{p}$ и ${\mathbf{E}} \varphi_m^{p} = \varphi_m^{p}$ получаем $({\mathbf{E}} +{\tau}{\mathbf{\Lambda}}) \varphi_m^{p} = (1 - \tau {\lambda}) \varphi_m^{p}$ . Легко получается оценка нормы этой сеточной функции на первой итерации:

$\left\| {v^1}\right\| = \sqrt{\sum {c_{pq}^2 (1 - \tau {\lambda}^{pq})^2}} \le \max\limits_{{\lambda}\in [l, L]} \left| {1 -{\tau}{\lambda}}\right| \sqrt{\sum {c_{pq}^2}} = \max\limits_{{\lambda}\in [l, L]} \left| {1 -{\tau}{\lambda}}\right| \left\| {{\mathbf{R}}^0}\right\|.$

Для последовательности итераций также легко получается стандартная оценка нормы

$\left\| {{\mathbf{r}}^{i}}\right\| \le (\max\limits_{{\lambda}\in [l, L]} \left| {1 -{\tau}{\lambda}}\right|)^{i} \left\| {{\mathbf{r}}^{0}}\right\|.$

Отсюда видно, что значение q вычисляется, как $\max \{| 1 - {\tau}l |, | 1 -{\tau}L | \}$ , а условие сходимости q < 1 выполняется при $0 < \tau < 2/L$ . Границы спектра разностного оператора уже оценены в предыдущем пункте.

Для определения параметра $\tau,$ обеспечивающего максимальную скорость сходимости, необходимо решать следующую оптимизационную задачу:

$\min\limits_{\tau} (\max\limits_{{\lambda} \in [l, L]} \left|{1 -{\tau}{\lambda}}\right|).$

Так как $max\ | 1 - \tau \lambda |$ достигается на правой или левой границе интервала [l, L], то выполняется равенство $\max\limits_{{\lambda}\in [l, L]} \left| {1 -{\tau}{\lambda}}\right| = \max \{\left| {1 -{\tau}l}\right|, \left| {1 -{\tau}L}\right| \}$ . В таком случае необходимо определить $\tau,$ при котором достигается $\min\limits_{\tau}\left\{{\max (\left| {1 -{\tau}l}\right|, \left| {1 -{\tau}L}\right|)}\right\}$ , или $\tau_0 = \arg [\min\limits_{\tau}\max (\left| {1 - \tau l}\right|, \left| {1 -{\tau}L}\right|)]$ . где $\tau _{0}$ — оптимальный итерационный параметр.

Рис. 6.1.

Как показано на рис. 6.1, $\min\limits_{\tau}\max (\left| {1 -{\tau}l}\right|, \left|{1 -{\tau}L}\right|)$ достигается при $| 1 -\tau l | = | 1 -\tau L |$ . Справа от точки B при любых $\tau$ максимальна функция $| 1 - \tau L |$ , слева — функция $| 1 -\tau l |$ , и тогда минимум от искомого максимума достигается в точке B. Отсюда получим $1 - \tau l = - (1 - \tau L)$ . Следовательно, значение оптимального итерационного параметра $\tau _{0}$ равно

$\tau_0 = \frac{2}{l + L}$

.

Оптимальное значение функции, отвечающей за скорость сходимости, будет

$\begin{multline*} q_0 = q(\tau_0 ) = 1 - \tau_0 l = 1 - \frac{2}{{L + l}} \cdot l = \frac{{L - l}}{{L + l}} = \\ = \frac{{1 - {\mu}^{- 1}}}{{1 + {\mu}^{- 1}}} = \frac{{1 + {\mu}^{- 1} - 2 {\mu}^{- 1}}}{{1 + {{\mu}} ^{- 1}}} \approx 1 - 2 {\mu}^{- 1}, \end{multline*}$

где $\mu = L/l$ — число обусловленности системы сеточных уравнений.

Количество итераций, соответствующее этому методу, легко оценивается:

$i = \left[{\frac{{\ln {\varepsilon}}}{{\ln q}}}\right] + 1 = \left[{\frac{{\ln {\varepsilon}}}{{\ln (1 - 2l/L)}}}\right] + 1 \approx \left[\frac{\ln {\varepsilon}}{(- 2l/L)} + 1 \approx \frac{L}{2l} \ln {\varepsilon}^{- 1} + 1\right].$

Пусть расчеты приводятся с точностью $\varepsilon = 10^{ - 5}$ на сетке 100 x 100, тогда оценка числа итераций дает при $l \approx 2 {\pi}^2$ и L = 8N²

$i \approx \frac{8N^2}{2 \cdot 2 {\pi}^2} \ln 10^5 \approx \approx 2 \cdot 10^4$

итераций.

Показатель сходимости $q_{0} = 1 - 2\mu ^{ - 1} \setminus approx\ 0, 9995$ .

Параметр $\mu = L/l$ — число обусловленности матрицы; чем оно больше, тем медленнее сходятся итерации. Напомним, что в n - мерном линейном нормированном пространстве L_n вводятся три наиболее употребительных нормы вектора:

$\begin{gather*} \left\| {\mathbf{u}}\right\|_1 = \max\limits_i {\left| {{\mathbf{u}}_i }\right|}, i = 1, \ldots , n, \\ \left\| {\mathbf{u}}\right\|_2 = \sum\limits_{i = 1}^{N}{\left| {{\mathbf{u}}_i }\right|}, \\ \left\| {\mathbf{u}}\right\|_3 = \sqrt{\sum\limits_{i = 1}^{n}{\left| {{\mathbf{u}}_i } \right|^2}} = \sqrt{({\mathbf{u}}, {\mathbf{u}})}, \end{gather*}$

которым, в соответствии с определением согласованной нормы матрицы $\mathbf{A}$

$\left\| A\right\| = \sup\limits_{u \in }\frac{{\left\| {A{\mathbf{u}}} \right\|}}{{\left\| {\mathbf{u}}\right\|}},$

сопоставляются нормы матрицы $\mathbf{A}$ с элементами a_ij:

$\begin{gather*} \left\| {\mathbf{A}}\right\|_1 = \max\limits_i \sum\limits_{j = 1}^{n} {\left| {a_{ij}}\right|}, \\ \left\| {\mathbf{A}}\right\|_2 = \max\limits_j \sum\limits_{i = 1}^{n}{\left| {a_{ij}}\right|}, \\ \left\| {\mathbf{A}}\right\|_3 = \sqrt{\max\limits_i {\lambda}^{i}({\mathbf{A}}*{ \mathbf{A}})}. \end{gather*}$

Показывается, что для симметричной матрицы $\mathbf{A}$ число обусловленности $\mu$ может быть представлено в третьей норме:

${\mu}= \frac{{\max\limits_i \left| {\lambda_{\mathbf{A}}^{i}}\right|}} {{\min\limits_i \left| {\lambda_{\mathbf{A}}^{i}}\right|}} = \frac{L}{l}.$

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема.Рассмотрим итерационный метод $u_{ml}^{i + 1} = u_{ml}^{i} +{\tau}({\mathbf{\Lambda}}u_{ml}^{i} - f_{ml})$ , с оператором $\mathbf{\Lambda} = \mathbf{\Lambda^ *} > 0$ для численного решения разностного аналога уравнения Пуассона

$\frac{{{\partial}^2 u}}{{{\partial}x^2}} + \frac{{{\partial}^2 u}}{{{\partial}y^2}} = f(x, y)$

с помощью аппроксимирующей его разностной схемы

${\mathbf{\Lambda}}u_{ml} = f_{ml}.$

Пусть l и L — минимальное и максимальное собственные числа оператора $\mathbf{\Lambda}$ соответственно.

Если итерационный параметр $\tau$ удовлетворяет условию $0 < \tau < 2/L$ , то последовательность итераций uⁱ сходится к проекции решения исходного дифференциального уравнения, причем выполнено неравенство ${\left\| {v^{i}}\right\| \le q^{i} \left\|{v^0 }\right\|}$ , где параметр 0 < q < 1 определяется следующим образом: