НОУ ИНТУИТ | Численные методы решения уравнений в частных производных. Лекция 6: Численное решение уравнений в частных производных эллиптического типа на примере уравнений Лапласа и Пуассона

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.10.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

6.7 Задачи

В современных формулировках метод релаксации рассматривается с черно - белым (шахматным, красно - черным) упорядочением узлов. Назовем все внутренние узлы сетки черными, если для них сумма значений индексов четная, все прочие внутренние узлы назовем белыми. Получить расчетные формулы метода верхней релаксации для сетки с черно - белым (шахматным, красно - черным) упорядочением узлов.
Решение. Заметим, что при расчетах белые узлы соседствуют только с черными, и наоборот. Тогда с учетом этого расчетные формулы будут для всех белых узлов

$\frac{u_{m - 1, l}^{i} + u_{m, l - 1}^{i}}{h^2} + \frac{u_{m, l + 1}^{i} + u_{m + 1, l}^{i}}{h^2} - \frac{4}{h^2} \left[\frac{u_{ml}^{i + 1}}{\tau} + (1 - \frac{1}{\tau})u_{ml}^{i}\right] = f_{ml},$

а для всех черных

$\frac{u_{m - 1, l}^{i + 1} + u_{m, l - 1}^{i + 1}}{h^2} + \frac{u_{m, l + 1}^{i + 1} + u_{m + 1, l}^{i + 1}}{h^2} - \frac{4}{h^2} \left[\frac{u_{ml}^{i + 1}}{\tau} + (1 - \frac{1}{\tau})u_{ml}^{i}\right] = f_{ml},$

Последовательность вычислений для такого варианта будет несколько отличаться от первоначальной формулировки метода релаксаций. Сначала ищется значение на следующей итерации для всех белых узлов, затем — для черных. Такой итерационный метод очевидным образом связан со схемой "классики" для решения параболических уравнений.
Пусть число внутренних узлов равно 9. Выписать в матричном виде сеточные уравнения при классической формулировке схемы "крест" и для случая черно - белого упорядочения узлов. Для простоты рассмотреть вариант, когда значения функции на границе области равны нулю.
Решение.

В "классическом" варианте сеточная система есть

$- {\mathbf{Au}} = {\mathbf{f}},$
где

$\begin{gather*} {\mathbf{A}} = \left( \begin{array}{ccccccccc} 4 & {- 1} & 0 & {- 1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ {- 1} & 4 & {- 1} & 0 & {- 1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {- 1} & 4 & {- 1} & 0 & {- 1} & 0 & 0 & 0 \\ {- 1} & 0 & {- 1} & 4 & {- 1} & 0 & {- 1} & 0 & 0 \\ 0 & {- 1} & 0 & {- 1} & 4 & {- 1} & 0 & {- 1} & 0 \\ 0 & 0 & {- 1} & 0 & {- 1} & 4 & {- 1} & 0 & {- 1} \\ 0 & 0 & 0 & {- 1} & 0 & {- 1} & 4 & {- 1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & {- 1} & 0 & {- 1} & 4 & {- 1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {- 1} & 0 & {- 1} & 4 \\ \end{array} \right) \\ {\mathbf{u}} = (u_{11}, u_{12}, u_{13}, u_{21}, u_{22}, u_{23}, u_{31}, u_{32}, u_{33})^{T}, \\ {\mathbf{f}} = - h^2 (f_{11}, f_{12}, f_{13}, f_{21}, f_{22}, f_{23}, f_{31}, f_{32}, f_{33})^{T}, \end{gather*}$

а в случае черно - белого упорядочения узлов сетки

$- {\mathbf{Au}} = {\mathbf{f}},$
где

$\begin{gather*} {\mathbf{A}} = \left( \begin{array}{ccccccccc} 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & {- 1} & {- 1} & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & {- 1} & 0 & {- 1} & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & {- 1} & {- 1} & {- 1} & {- 1} \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & {- 1} & 0 & {- 1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & {- 1} & {- 1} \\ {- 1} & {- 1} & {- 1} & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ {- 1} & 0 & {- 1} & {- 1} & 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & {- 1} & {- 1} & 0 & {- 1} & 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & {- 1} & {- 1} & {- 1} & 0 & 0 & 0 & 4 \\ \end{array} \right) \\ {\mathbf{u}} = (u_{11}, u_{13}, u_{22}, u_{31}, u_{33}, u_{12}, u_{21}, u_{23}, u_{32})^{T}, \\ {\mathbf{f}} = - h^2 (f_{11}, f_{13}, f_{22}, f_{31}, f_{33}, f_{12}, f_{21}, f_{23}, f_{32})^{T} . \end{gather*}$