НОУ ИНТУИТ | Численные методы решения уравнений в частных производных. Лекция 4: Введение в методы численного решения уравнений газовой динамики

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.10.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

4.6. Задачи для самостоятельного решения

Волны Римана
Выпишем нелинейную систему уравнений одномерных движений идеальной сжимаемой жидкости в случае баротропных процессов. Она состоит из уравнения Эйлера

$\frac{{{\partial} u}}{{{\partial} t}} + u \frac{{{\partial} u}}{{{\partial} x}} + \frac{1}{\rho} \frac{{{\partial} p}}{{{\partial} x}} = 0,$

уравнения неразрывности

$\frac{{{\partial}{\rho}}}{{{\partial} t}} + \rho \frac{{\partial}u} {{\partial}x} + u \frac{{{\partial}{\rho}}}{{\partial}x} = 0$

и условия баротропности

$p = f(\rho ).$

Уравнения позволяют определить плотность $\rho$ и скорость u в зависимости от координаты x и времени t. Система не имеет решений, зависящих только от $x \pm a_{0}t$ , но оказывается возможным найти решение этой системы, представляющее собой плоскую волну и являющееся обобщением решений вида $f(x \pm a_{0}t)$ . Будем искать такие решения системы, для которых скорость u является функцией только плотности $\rho.$ Частные решения системы уравнений носят названия решений Римана; соответствующие этим решениям движения называются волнами Римана $f(x \pm a_{0}t)$ .
- Доказать, что в рассматриваемом течении скорость можно определить по формуле
  $u = \pm \int {\sqrt {\frac{{{dp}}}{{d {\rho}}}} \frac{{d \rho }}{\rho}}.$
  
  Обозначим
  $\frac{dp}{d{\rho}} = a^2 ({\rho})$
  и введем величину c = u + a. Какой физический смысл имеет величина c?
- Задав начальный профиль возмущения плотности, численно решить уравнение для :
  $\frac{{\partial}\rho}{{\partial}T} + c(\rho ) \frac{{\partial}\rho}{{\partial}x} = 0,$
  - для случая адиабатических движений совершенного газа ( $\gamma = 1, 4$ ):
    $c \left({\rho}\right) = \sqrt {A \gamma } \left[{1 + \frac{2}{{\gamma - 1}}}\right] {\rho}^{{{1 \over 2}}(\gamma - 1)},$
  - задав самостоятельно некоторую зависимость давления от плотности, $p = f(\rho )$ .
- Описать качественное поведение решения $\rho (x, t)$ . Указать, какие требования к численному методу предъявляет возникновение в потоке скачков уплотнения. Вывести зависимость $p(\rho )$ , при которой не возникает эффекта опрокидывания волны сжатия Римана. Дать физическую трактовку полученного соотношения. Провести численный расчет течения с полученной зависимостью $p(\rho )$ .
- Доказать, что рассмотренные решения Римана можно определить как такие решения, для которых имеется семейство прямолинейных характеристик.
- Поставить условия существования центрированных волн Римана, когда
  $u = u_0 f({x/t}), {\rho} = \rho_0{\varphi}({x/t})$ .
  
  Течения подобного типа — частный случай автомодельных течений, когда решение зависит от некоторой комбинации независимых переменных. Проиллюстрировать численными расчетами особенности распространения центрированных волн Римана.