НОУ ИНТУИТ | Численные методы решения уравнений в частных производных. Лекция 4: Введение в методы численного решения уравнений газовой динамики

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.10.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

теперь имеется алгоритм вычисления $E_{kl}^{n}$ и, следовательно, $\tilde {E}_{kl}^{n}$ .

Из соотношения

$\bar{e}_{kl} \cdot h^2 = (h^2 \rho_{kl} ) \bar{\varepsilon}_{kl} + (h^2 \rho_{kl} ) \cdot \frac{{(\bar{u}_{1, {kl}} )^2 + (\bar{u}_{2, {kl}} )^2}}{2}$

находим величину полной удельной внутренней энергии $\bar{\varepsilon}_{kl}$ . Однако искомыми являются значения удельной внутренней энергии для каждого вещества. Пусть $\Delta \varepsilon _{i}$ — изменение удельной внутренней энергии i вещества за первый этап шага по времени по i веществу. Зная m_i (масса i вещества), запишем полное приращение полной удельной внутренней энергии в ячейке ( $\Delta _{\varepsilon }$ ) и приравняем его к уже полученному полному приращению

$\sum\limits_i {m_{ikl}^{n}} \Delta \varepsilon_{ikl} = m_{kl}^{n} (\bar{\varepsilon}_{kl} - \varepsilon_{kl}^{n}).$

Для определения изменения количества каждого газа нужно сделать некое правдоподобное предположение, например, считать, что все $\Delta \varepsilon _{ikl}$ одинаковы. Тогда ${N} \Delta \varepsilon_{ikl} = \bar{\varepsilon}_{kl}^{n} - \varepsilon_{kl}^{n}$ и, соответственно, $\bar{\varepsilon}_{ikl} = \varepsilon_{ikl}^{n} + \Delta \varepsilon_{ikl}$ . На этом первый этап расчета (предиктор) закончен.

Рассмотрим второй этап расчета.

Движение частиц описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями

$\dot{X}_p = u_1({t, X}_p, Y_p), \dot{Y}_p = u_2({t, X}_p, Y_p),$

которые могут быть приближены, например, с использованием явного метода Эйлера. Тогда дифференциальные уравнения заменяются разностными уравнениями

$X_p^{{n} + 1} = X_p + {\tau}\tilde{u}_{1 p}, Y_p^{{n} + 1} = Y_p^{n} + {\tau}\tilde{u}_{2 p},$

где скорости частиц $\tilde{u}_k, \tilde{v}_k$ определяются интерполяцией величин $\bar{u}_{1}, \bar{u}_{2}$ в ячейках, окружающих p частицу.

После этого рассчитывается перенос массы и вычисляется новая масса каждой ячейки. Для этого выделяются три группы частиц:

частицы, оставшиеся при переходе на n + 1 слой в пределах ячейки, которые, очевидно, не вносят изменений в массу, импульс, энергию новой ячейки, т.е.
$(X_p^{n}, Y_p^{n}) \in \omega_{ij}, (X_p^{n + 1}, Y_p^{n + 1}) \in \omega_{ij},$
где $\omega _{ij}$ — обозначение старой ячейки,
частицы, покинувшие ячейку $\omega _{ij}$ :
$(X_p^{n}, Y_p^{n}) \in \omega_{ij}, \\ (X_p^{n + 1}, Y_p^{n + 1}) \notin \omega_{ij},$
частицы, перешедшие из соседних ячеек:
$(X_p^{n}, Y_p^{n}) \notin \omega_{ij}, \\ {(X_p^{n + 1}, Y_p^{n + 1}) \in \omega_{ij}, }$

На шаг по времени накладывается ограничение

${\tau} < \frac{h}{{\sqrt {u_1^2 + u_2^2}}},$

что означает запрет на перемещение частицы за один шаг больше, чем на одну ячейку. Перемещение в данном методе возможно только в соседнюю ячейку. Предположим, что каждая p частица, перешедшая на n + 1 шаге по времени в соседнюю ячейку, переносит в нее массу m_p. Это означает, что значение массы m_ikl считается путем сложения масс всех частиц типа i, для которых $(X_p^{n + 1}, Y_p^{n + 1}) \in \omega_{ij}$

Процедура вычисления импульса выполняется следующим образом. Компоненты полного импульса частиц в ячейке ( k, l ) могут быть вычислены, как $m_{kl}^{n} \overline{u}_{1, kl}, m_{kl}^{n} \overline{u}_{2, kl}$ , при этом p частица, покинувшая ячейку $\omega _{ij}$ , уносит импульс $m_p \overline{u}_{1, {kl}}, m_p u_{2, kl}$ . Изменение импульса в S_kl за один шаг по времени будет

$\begin{gather*} m_k^{{n} + 1} u_{1, {kl}}^{{n} + 1} = m_{kl}^{n} \bar{u}_{1, {kl}} - (\sum {\mu_p \bar{u}_{1, {kl}}} )_1 + (\sum {\mu_p \bar{u}_{1, {kl}}} )_2 , \\ m_{kl}^{{n} + 1} u_{2 {kl}}^{{n} + 1} = M_{kl}^{n} \bar{u}_{2 {kl}} - (\sum {\mu_p \vec{u}_{2 {kl}}} )_1 + (\sum {\mu_p \bar{u}_{2 k^{\prime}l^{\prime}}} )_2 , \end{gather*}$

здесь символы суммирования означают суммирование по частицам ( p ), покинувшим данную ячейку и пришедшим в нее, соответственно. После вычисления компонентов импульса каждой ячейки вычисляются компоненты скорости $u_{1kl}^{n + 1}, u_{2kl}^{n + 1}$ .

Частица типа i, переходящая из S_ke в другую ячейку, переносит полную энергию

$\Delta E_p = m_p \left[{\bar{\varepsilon}_{ikl} + \frac{{(\bar{u}_{1 {kl}} )^2 + (\bar u_{2 {kl}} )^2}}{2}}\right].$

Тогда можно вычислить энергию i вещества в ячейке $\omega _{kl}$ на промежуточном шаге:

$E_{ikl} = \sum\limits_{i_p \in i}{m_p } \left[{\bar{\varepsilon }_{ikl} + \frac{{(\bar{u}_{1 {kl}} )^2 + (\bar{u}_{2 {kl}} )^2}}{2}}\right].$

При t = t_{n + 1} полная удельная энергия изменится на величину

$E_{ikl}^{n + 1} = \bar{E}_{ikl} - (\sum\limits_{i_p \in i}{\cdot \Delta E_p } )_1 + (\sum\limits_{i_p \in i}{\cdot \Delta E_p } )_2,$

где знаки суммирования снова означают суммы по всем частицам, покинувшим ячейку $\omega _{kl}$ и пришедшим в нее, соответственно. Далее получим

$\varepsilon_{ikl}^{n + 1} = \frac{{h^2}}{{m_{ikl}^{n + 1}}}E_{ikl}^{n + 1} - \frac{1}{2} \left[{(u_{1 {kl}}^{n + 1} )^2 + (u_{2 {kl}}^{n + 1} )^2}\right].$

Отметим недостатки этого метода. Во - первых, это дискретность плотности, что приводит при небольшом количестве частиц в ячейке к скачкообразным изменениям плотности. Во - вторых, аппроксимация исходных уравнений достигается при количестве частиц, стремящемся к бесконечности. Кроме того, этот метод требует значительно большего количества памяти, чем конечно - разностные методы, так как наряду с физическими характеристиками узлов необходимо хранить и свойства частиц в ячейках.

Подробное описание метода частиц в ячейках в [14.11].

Дальше >>

Численные методы решения уравнений в частных производных

Численные методы решения уравнений в частных производных

Введение в методы численного решения уравнений газовой динамики

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Численные методы решения уравнений в частных производных

Численные методы решения уравнений в частных производных

Введение в методы численного решения уравнений газовой динамики

Вопросы и ответы

Студенты