НОУ ИНТУИТ | Введение в эконометрику. Лекция 2: Приложение 2: Основные положения теории вероятностей

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 10.09.2016 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 27 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Основные понятия математической статистики. Точечные оценки параметров

В математической статистике исследуемую случайную величину, в общем случае - многомерную, принято называть генеральной совокупностью, а ее реализации в последовательности независимых испытаний - выборкой из генеральной совокупности, или коротко - выборкой. Сами значения случайной величины принято называть элементами выборки, а их количество - объемом выборки. Основной задачей статистического исследования является описание генеральной совокупности по имеющейся выборке. Как правило, эта задача сводится к нахождению закона распределения случайной величины или определению ее числовых характеристик.

Статистикой называется любая функция элементов выборки $X_{1}, X_{2}, \dots , X_{n}$ . Если рассматривать элементы выборки как независимые одинаково распределенные случайные величины, то и статистику следует рассматривать как случайную величину, имеющую свой закон распределения.

Любые характеристики случайной величины, полученные по выборке, называются выборочными, или эмпирическими. Статистической оценкой называется выборочная характеристика, используемая в качестве приближенного значения неизвестной характеристики генеральной совокупности. Так, статистической оценкой плотности распределения непрерывной случайной величины является гистограмма.

Статистическая оценка, представленная в виде числа - точки на числовой прямой, называется точечной. Пригодность использования в приложениях точечной оценки зависит от наличия у нее таких свойств, как несмещенность, состоятельность и эффективность.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \dots , X_{n}$ - случайная выборка и — выборочная оценка некоторого параметра $\theta$ . Оценка $\theta_{n}^*$ называется несмещенной, если для любого фиксированного выполняется равенство $M = (\theta n^*) = \theta$ . Это равенство гарантирует, что использование этой оценки не приводит к систематическим ошибкам.

Оценка $\theta_{n}^*$ называется состоятельной, если она сходится по вероятности к значению параметра $\theta$ , т.е. выполняется условие для любого $\varepsilon > 0$ . Выполнение этого условия означает, что с увеличением объема выборки возрастает наша уверенность в малом по абсолютной величине отклонении оценки $\theta n^*$ от истинного значения параметра $\theta$ .

Оценка $\theta_{n}^*$ считается эффективной, если она обладает наименьшей дисперсией по сравнению с любыми другими оценками. Эффективная оценка является наилучшей в смысле минимума среднеквадратичного отклонения оценки qn^* от истинного значения параметра $\theta$ .