НОУ ИНТУИТ | Введение в эконометрику. Лекция 2: Приложение 2: Основные положения теории вероятностей

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 10.09.2016 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 27 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Наиболее распространенные в эконометрических моделях распределения

Нормальное распределение. Это распределение полностью определяется математическим ожиданием m и средним квадратичным отклонением . Плотность нормального распределения записывается в виде

где $\pi \approx 3,1415926, exp \approx 2,71828$ .

Кривая плотности нормального распределения имеет форму симметричного колокола (рис. 1); в данном случае $\mu = 1$ и $\sigma = 0,8$ .

Рис. 1.

Логнормальное распределение. Переменная называется логнормально распределенной, если ее логарифм нормально распределен. Такая ситуация возникает, когда рассматривают распределение произведения большого числа случайных, одинаково распределенных независимых величин. Обозначим за m математическое ожидание и за среднее квадратическое отклонение логарифма логнормального распределения. Тогда математическое ожидание и дисперсия самого логнормального распределения вычисляются по формулам

Из определения вытекает, что для плотности логнормального распределения справедливо соотношение

На рисунке 2 отражены кривые плотности и интегральной функции логнормального распределения при $\mu = 1 и \sigma = 0,8$ .

Рис. 2.

Распределение c 2-квадрат. Пусть $X_{i} \grave I N(0, 1) (i = 1, \dots , n)$ - нормальные независимые случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Тогда сумма квадратов этих величин

имеет распределение $x^{2}$ с степенями свободы. Плотность $x^{2}$ -распределения выражается формулой

где — гамма-функция, в частности Г(n + 1) = n! .

На рисунке 3 изображены кривые плотности и интегральной функции $x^{2}$ распределения при n = 10 .

Рис. 3.

Распределение Стьюдента. Пусть $Z \grave I N(0, 1)$ , а - распределенная по закону $x^{2}$ независимая от случайная величина с степенями свободы. Тогда случайная величина распределена по закону Стьюдента (-распределение) с степенями свободы. На рисунке 4 представлены графики кривых плотности и интегральной функции -распределения при k = 5 .