Анализ игр

11.1. Примеры игр

11.1.1. Двое играют в такую игру: на столе лежит спичек; играющие по очереди могут взять от до спичек; кто не может сделать хода (спичек не осталось) - проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре?

Решение. Второй выигрывает, если будет дополнять ход первого до спичек (если первый берет одну, второй должен взять четыре и так далее). Тогда после четырех раундов спичек не останется и первый проиграет.

11.1.2. Кто выиграет - первый или второй - если спичек не , а ?

Решение. Первый: если он возьмет три спички, то станет вторым в уже разобранной игре и потому сможет выиграть.

Аналогично получается ответ и для произвольного числа спичек ( ): если кратно пяти, то выигрывает второй, а если нет, то первый.

11.1.3. Изменим условия игры: пусть взявший последнюю спичку проигрывает. Кто теперь выигрывает при правильной игре?

11.1.4. Пусть теперь игрокам разрешено брать , или спички, а кто не может сделать ход, проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре, если вначале было спичек?

Решение. Здесь уже не так просто сразу указать выигрышную стратегию для первого или второго. Начнем с небольшого числа спичек, изобразив разрешенные ходы в виде стрелок (рис. 11.1.): Игрок, оказавшийся в позиции , проигрывает (таковы правила), поэтому соответствующий кружок пометим буквой П. Игрок, оказавшийся в позициях , или , выигрывает, поскольку он может забрать все спички и перевести противника по стрелке в позицию . Поэтому мы пометим эти позиции буквой В. Теперь ясно, что позиция является проигрышной: из нее можно пойти только в и , и тогда противник (как мы уже знаем) выиграет. Пометим ее буквой П. Далее замечаем, что позиции , и будут выигрышными (поскольку из них можно попасть в проигрышную для противника позицию ; заметим, что из позиции можно выиграть и быстрее, пойдя в ). Теперь видно, что позиция проигрышная (все стрелки из нее ведут в выигрышные для противника позиции), - выигрышная, - проигрышная и так далее с периодом .

Рис. 11.1. Игра со спичками

Таким образом, если число спичек делится на , то позиция проигрышная, если нет - то выигрышная. Поэтому в игре с спичками первый игрок выигрывает.

11.1.5. Как он для этого должен играть?

Решение. Ставить противника в проигрышную позицию, то есть следить, чтобы после его хода число спичек было кратно трем (в частности, в начале игры взять спички, чтобы осталось ).

11.1.6. На столе лежат две кучки спичек: в одной , в другой . За один ход разрешается взять любое (ненулевое) число спичек, но только из одной кучки (можно взять все спички в ней); кто не может сделать ход, проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре?

Ответ: при выигрывает второй, при - первый.

11.1.7. На шахматной доске стоит ладья, которую игроки по очереди двигают, при этом разрешено сдвигать ее влево и вниз (оставлять на месте нельзя); кто не может сделать ход, проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре?

Указание. Как эта игра связана с предыдущей?

11.1.8. Имеется кучек из спичек; за один ход можно взять любое (ненулевое) число спичек, но только из одной кучи (можно взять все спички в ней); кто не может сделать ход, проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре?

Решение. Запишем числа в двоичной системе счисления друг под другом, как если бы мы собирались их складывать. Если в каждом разряде при этом оказалось четное число единиц, то выигрывает второй, в остальных случаях - первый. В самом деле, если во всех разрядах четное число единиц, то после уменьшения одного из чисел какой-то из его разрядов изменится и в этом разряде получится нечетное число единиц. (Это соответствует тому, что из проигрышной позиции любой ход ведет в выигрышную.) Если же в некоторых ("плохих") разрядах нечетное число единиц, возьмем старший плохой разряд и то из чисел, которое содержит в этом разряде единицу. Тогда, изменив в этом числе все плохие разряды, получим меньшее число, которое поставит противника в проигрышную позицию. (См. правила для выигрышных и проигрышных позиций в следующем разделе.)

11.1.9. В ряд лежат ящиков, в каждом из них по монете. За один ход игрок может взять любую монету или любые две монеты из соседних ящиков; кто не может сделать ход, проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре?

Решение. Первый: он должен взять одну или две монеты в центре, а потом симметрично повторять ходы второго.