Обход дерева. Перебор с возвратами

3.1. Ферзи, не бьющие друг друга: обход дерева позиций

В предыдущей лекции мы рассматривали несколько задач одного и того же типа: "перечислить все элементы некоторого множества ". Схема решения была такова: на множестве вводился порядок и описывалась процедура перехода от произвольного элемента множества к следующему за ним (в этом порядке). Такую схему не всегда удается реализовать непосредственно, и в этой лекции мы рассмотрим другой полезный прием перечисления всех элементов некоторого множества. Его называют " поиск с возвратами ", " метод ветвей и границ ", " backtracking ". На наш взгляд, наиболее точное название этого метода - обход дерева.

3.1.1.Перечислить все способы расстановки ферзей на шахматной доске , при которых они не бьют друг друга.

Решение. Очевидно, на каждой из горизонталей должно стоять по ферзю. Будем называть k-позицией (для ) произвольную расстановку ферзей на нижних горизонталях (ферзи могут бить друг друга). Нарисуем "дерево позиций": его корнем будет единственная -позиция, а из каждой -позиции выходит стрелок вверх в -позиции. Эти позиций отличаются положением ферзя на -ой горизонтали. Будем считать, что расположение их на рисунке соответствует положению этого ферзя: левее та позиция, в которой ферзь расположен левее.

Дерево позиций для n=2

Среди позиций этого дерева нам надо отобрать те -позиции, в которых ферзи не бьют друг друга. Программа будет "обходить дерево" и искать их. Чтобы не делать лишней работы, заметим вот что: если в какой-то -позиции ферзи бьют друг друга, то ставить дальнейших ферзей смысла нет. Поэтому, обнаружив это, мы будем прекращать построение дерева в этом направлении.

Точнее, назовем -позицию допустимой, если после удаления верхнего ферзя оставшиеся не бьют друг друга. Наша программа будет рассматривать только допустимые позиции.

Дерево допустимых позиций для n=3