НОУ ИНТУИТ | Практикум по методам построения алгоритмов. Лекция 14: Представление множеств. Деревья. Сбалансированные деревья.

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 08.04.2009 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 24 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Ключевые слова: полное двоичное дерево, корень, сын, отец, множество вершин, Двоичное дерево, рекурсивное определение, поддерево, Произведение, empty, левое поддерево, правое поддерево, высота, x-высота, упорядоченным, индукция, val, root, Left, free, равенство, связывание, константа, NULL, область определения, ячейка, VAR, integer, удаление элемента, удаление вершины, вычисленное значение, доопределение функций, определение функции, элемент множества, коррекция, инвариант, высота дерева, дерево, сбалансированное дерево, АВЛ-дерево, симметричность, доказательство, Левое вращение, стек, directed, вершина стека, норма, операция включения

14.1. Представление множеств с помощью деревьев

Полное двоичное дерево. T-деревья

Нарисуем точку. Из нее проведем две стрелки (влево вверх ивправо вверх) в две другие точки. Из каждой из этих точек проведем по две стрелки итак далее. Полученную картинку (в -ом слое будет $2^{n - 1}$ точек) называют полным двоичным деревом. Нижнюю точку называют корнем. У каждой вершины есть два сына (две вершины, в которые идут стрелки) - левый и правый. У всякой вершины, кроме корня, есть единственный отец.

Пусть выбрано некоторое конечное множество вершин полного двоичного дерева, содержащее вместе с каждой вершиной и всех ее предков. Пусть на каждой вершине этого множества написано значение фиксированного типа (то есть задано отображение множества вершин в множество значений типа ). То, что получится, будем называть -деревом. Множество всех -деревьев обозначим Tree(T) .

Рекурсивное определение. Всякое непустое -дерево разбивается на три части: корень (несущий пометку из ), левое и правое поддеревья (которые могут быть пустыми). Это разбиение устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством непустых -деревьев и произведением $T \times Tree (T) \times Tree (T)$ . Обозначив через empty пустое дерево, можно написать

$Tree(T) =\{empty\}+T\times Tree(T)\times Tree (T).$

Поддеревья. Высота

Фиксируем некоторое -дерево. Для каждой его вершины определено ее левое поддерево (левый сын вершины и все его потомки), правое поддерево (правый сын вершины и все его потомки) и поддерево с корнем в x (вершина и все ее потомки).

Левое и правое поддеревья вершины могут быть пустыми, а поддерево с корнем в всегда непусто (содержит по крайней мере ). Высотой поддерева будем считать максимальную длину цепи $y_1\ldots y_n$ его вершин, в которой $y_{i+1}$ - сын y_i для всех . ( Высота дерева из одного корня равна единице, высота пустого дерева - нулю.)

Упорядоченные T-деревья

Пусть на множестве значений типа фиксирован порядок. Назовем -дерево упорядоченное дерево, если выполнено такое свойство: для любой вершины все пометки в ее левом поддереве меньше пометки в а все пометки в ее правом поддереве больше пометки в .

14.1.1. Доказать, что в упорядоченном дереве все пометки различны.

Указание. Индукция по высоте дерева.

Представление множеств с помощью деревьев

Каждое дерево будем считать представлением множества всех пометок на его вершинах. При этом одно и то же множество может иметь различные представления.

Благодаря упорядоченности каждый элемент может легко "найти свое место" в дереве: придя в какую-то вершину и сравнив себя с тем, кто там находится, элемент решает, идти ему налево или направо.

$\setlength{\unitlength}{1.2em} \begin{picture}(8,7) \put(4,2){\vector(0,1){1.5}} \put(3,1){\makebox(2,1){y}} \put(4,4){\makebox(0,0){x}} \put(3.5,4.5){\vector(-1,1){1.5}} \put(4.5,4.5){\vector(1,1){1.5}} \put(1,6){\makebox(2,1){y<x}} \put(5,6){\makebox(2,1){y>x}} \end{picture}$

Начав с корня и двигаясь по этому правилу, он либо обнаружит, что такой элемент уже есть, либо найдет место, в котором он должен быть.

Всюду далее мы предполагаем, что на значениях типа задан порядок, и рассматриваем только упорядоченные деревья.

Дальше >>

Практикум по методам построения алгоритмов

Практикум по методам построения алгоритмов

Представление множеств. Деревья. Сбалансированные деревья.