Сопоставление с образцом

Подведем итоги. Рассмотренный способ хранения деревьев позволяет (для фиксированного слова )

• создать дерево из одного корня [ ];
• найти отца любой вершины (кроме корня) [ ];
• узнать пометку любой вершины (кроме корня), то есть пометку ведущего к ней ребра [ ];
• пройти из любой позиции вдоль любого слова , если заранее известно, что мы не выйдем из дерева; результатом является позиция в дереве, для которой [ O (число ребер на пути)];
• добавить слово , начав с позиции ; если при этом слово является подсловом , а в дереве нет позиции , для которой , то дерево меняется и такая позиция создается (она будет листом) [ O (число букв в w, не вошедших в l(q) ];
• наконец, для любого слова можно выяснить, найдется ли в дереве позиция , для которой [ ].

В квадратных скобках указано число действий при выполнении соответствующих операций.

Еще мы будем хранить в вершинах дерева " суффиксные ссылки " (в каждой вершине будет не более одной ссылки на другую вершину), но сначала надо объяснить, что это такое.

Начнем с полного (не сжатого) суффиксного дерева для слова . Каждой его вершине (кроме корня) отвечает некоторое непустое подслово слова . Если мы отрежем у этого подслова последнюю букву, то в дереве спустимся на один шаг к корню. Но что будет, если мы отрежем первую букву? Снова получится подслово, но оно уже будет совсем в другом месте дерева.

Вот как выглядят эти переходы в нашем примере (отрезание первой буквы соответствует пунктирной стрелке):

Эти стрелки мы будем называть суффиксными ссылками, поскольку они соответствуют переходу от слова к его суффиксу на единицу меньшей длины. Они определены для всех вершин, кроме корня.

Формально можно сказать так. Пусть означает слово без первой буквы ( определено для любого непустого слова ). Тогда суффиксная ссылка ведет из вершины в вершину , если (напомним, что - слово, соответствующее вершине ).

10.8.5. Как связаны суффиксные ссылки двух соседних вершин (отца и сына)?

Ответ. Они указывают на соседние вершины, и буква на соединяющем их ребре та же самая.

10.8.6. Доказать, что при переходе к сжатому суффиксному дереву ссылки по-прежнему идут из вершины в вершину (а не внутрь ребер).

Решение. В самом деле, по нашему предположению последняя буква слова больше в нем не встречается, поэтому из листа ссылка ведет в лист. А если вершина (отличная от корня) является точкой ветвления, то соответствующее ей слово встречается с различными буквами после него. Другими словами, для некоторых букв и слова и являются подсловами слова . Отрезав от них первую букву, получим слова и , которые также являются подсловами слова , поэтому и является точкой ветвления.

Вот что получится для нашего примера:

Теперь мы уже готовы к изложению алгоритма МакКрейта. Сжатое суффиксное дерево строим постепенно, добавляя к нему суффиксы по мере уменьшения их длины. Обозначим через суффикс, начинающийся с -ой буквы слова . (Таким образом, , а состоит из одной буквы.) После шагов построения наше дерево будет хранить .

10.8.7. Показать, что суффиксные ссылки в таком дереве определены корректно (ведут в другую вершину того же дерева) для всех вершин, кроме, возможно, последнего добавленного листа (соответствующего слову ) и его отца.

Решение. В самом деле, суффиксная ссылка из листа ведет в лист , и потому ей есть куда вести. Рассмотрим теперь внутреннюю вершину , не являющуюся отцом последнего листа. Пусть в ней разветвляются два пути в листья и . Без ограничения общности можно считать, что (если один из путей ведет в , то его можно заменить другим, ведь вершина по предположению не последняя развилка на этом пути). Отрезав от этих путей первый символ, получим пути в листья и ; эти пути присутствуют в дереве (поскольку и не превосходят ), а точка их развилки будет концом суффиксной ссылки вершины .

Суффиксные ссылки для листьев нам не понадобятся, и вычислять мы их не будем, а для всех остальных вершин дерева мы их будем вычислять и хранить. Более точно, после шагов алгоритма

• в дереве хранятся слова (и все их начала);
• адрес листа, соответствующего последнему добавленному суффиксу ( ) хранится в переменной ;
• для всех внутренних вершин дерева, кроме, быть может, отца вершины , хранится правильная суффиксная ссылка.