НОУ ИНТУИТ | Практикум по методам построения алгоритмов. Лекция 2: Порождение комбинаторных объектов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 08.04.2009 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 24 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

2.7. Подсчет количеств

Иногда можно найти количество объектов с тем или иным свойством, не перечисляя их. Классический пример: C_n^k - число всех -элементных подмножеств -элементного множества - можно найти, заполняя таблицу по формулам

$\begin{alignat*}{2} C_n^0 &=C_n^n = 1\qquad &&(n \ge 1)\\ C_n^k &=C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k\qquad &&(n > 1, 0 < k n) \end{alignat*}$

или по формуле

$C_n^k=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}.$

(Первый способ эффективнее, если надо вычислить много значений C_n^k

.)

Приведем другие примеры.

2.7.1. (Число разбиений; предлагалась на Всесоюзной олимпиаде по программированию 1988 года) Пусть P(n) - число разбиений целого положительного на целые положительные слагаемые (без учета порядка, 1+2 и 2+1 - одно и то же разбиение). При n=0 положим P(n) = 1 (единственное разбиение не содержит слагаемых). Построить алгоритм вычисления P(n) для заданного .

Решение. Можно доказать (это нетривиально) такую формулу для P(n) :

$P(n) = P(n-1)+P(n-2)-P(n-5)-P(n-7)+P(n-12)+P(n-15) +\ldots$

(знаки у пар членов чередуются, вычитаемые в одной паре равны (3q^2-q)/2

и

; сумма конечна - мы считаем, что P(k)=0

при

).

Однако и без ее использования можно придумать способ вычисления P(n) , который существенно эффективнее перебора и подсчета всех разбиений.

Обозначим через R(n,k) (для $n\ge 0$ , $k\ge0$ ) число разбиений на целые положительные слагаемые, не превосходящие . (При этом R(0,k) считаем равным для всех $k\ge 0$ .) Очевидно, P(n)=R(n,n) . Все разбиения на слагаемые, не превосходящие , разобьем на группы в зависимости от максимального слагаемого (обозначим его ). Число R(n,k) равно сумме (по всем от до ) количеств разбиений со слагаемыми не больше и максимальным слагаемым, равным . А разбиения на слагаемые не более с первым слагаемым, равным , по существу представляют собой разбиения n-i на слагаемые, не превосходящие (при $i\le k$ ). Так что

$\begin{alignat*}{2} R(n,k)&=\sum\limits_{i=1}^{k} R (n-i,i)\qquad &&\text{при $k\le n$},\\ R(n,k)&=R (n,n)\qquad &&\text{при $k \ge n$}, \end{alignat*}$

что позволяет заполнять таблицу значений функции

.

2.7.2. (Счастливые билеты; предлагалась на Всесоюзной олимпиаде по программированию 1989 года.) Последовательность из цифр (каждая цифра от до ) называется счастливым билетом, если сумма первых цифр равна сумме последних цифр. Найти число счастливых последовательностей данной длины.

Решение. (Сообщено одним из участников олимпиады; к сожалению, не могу указать фамилию, так как работы проверялись зашифрованными.) Рассмотрим более общую задачу: найти число последовательностей, где разница между суммой первых цифр и суммой последних цифр равна ( $k = -9n,\ldots, 9n$ ). Пусть T(n,k) - число таких последовательностей.

Разобьем множество таких последовательностей на классы в зависимости от разницы между первой и последней цифрами. Если эта разница равна , то разница между суммами групп из оставшихся n-1 цифр равна k-t . Учитывая, что пар цифр с разностью бывает 10 - |t| , получаем формулу

$T(n,k) = \sum\limits_{t=-9}^{9} (10-|t|) T(n-1,k-t).$

(Некоторые слагаемые могут отсутствовать, так как k-t

может быть слишком велико.)

В некоторых случаях ответ удается получить в виде явной формулы.

2.7.3. Доказать, что число Каталана (количество последовательностей длины из единиц и минус единиц, в любом начальном отрезке которых не меньше единиц, чем минус единиц) равно $C_{2n}^n/(n+1)$ .

Указание. Число Каталана есть число ломаных, идущих из (0,0) в (2n,0) шагами (1,1) и (1,-1) , не опускающихся в нижнюю полуплоскость, т.е. разность числа всех ломаных (которое есть $C_{2n}^{n}$ ) и числа ломаных, опускающихся в нижнюю полуплоскость. Последние можно описать также как ломаные, пересекающие прямую y=-1 . Отразив их кусок справа от самой правой точки пересечения относительно указанной прямой, мы установим взаимно однозначное соответствие между ними и ломаными из (0,0) в (2n,-2) . Остается проверить, что $C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n+1}=C_{2n}^{n}/(n+1)$ .