Опубликован: 08.04.2009 | Уровень: для всех | Доступ: платный
Лекция 2:

Порождение комбинаторных объектов

< Лекция 1 || Лекция 2: 12345 || Лекция 3 >

2.5. Коды Грея и аналогичные задачи

Иногда бывает полезно перечислять объекты в таком порядке, чтобы каждый следующий минимально отличался от предыдущего. Рассмотрим несколько задач такого рода.

2.5.1. Перечислить все последовательности длины n из чисел 1..k в таком порядке, чтобы каждая следующая отличалась от предыдущей в единственной цифре, причем не более, чем на 1.

Решение. Рассмотрим прямоугольную доску ширины n и высоты k. На каждой вертикали будет стоять шашка. Таким образом, положения шашек соответствуют последовательностям из чисел 1..k длины n ( s -ый член последовательности соответствует высоте шашки на s -ой вертикали). На каждой шашке нарисуем стрелочку, которая может быть направлена вверх или вниз. Вначале все шашки поставим на нижнюю горизонталь стрелочкой вверх. Далее двигаем шашки по такому правилу: найдя самую правую шашку, которую можно подвинуть в направлении (нарисованной на ней) стрелки, двигаем ее на одну клетку в этом направлении, а все стоящие правее нее шашки (они уперлись в край) разворачиваем кругом.

Ясно, что на каждом шаге только одна шашка сдвигается, т.е. один член последовательности меняется на 1. Докажем индукцией по n, что проходятся все последовательности из чисел 1..k. Случай n=1 очевиден. Пусть n>1. Все ходы поделим на те, где двигается последняя шашка, и те, где двигается не последняя. Во втором случае последняя шашка стоит у стены, и мы ее поворачиваем, так что за каждым ходом второго типа следует k-1 ходов первого типа, за время которых последняя шашка побывает во всех клетках. Если мы теперь забудем о последней шашке, то движения первых n-1 по предположению индукции пробегают все последовательности длины n-1 по одному разу; движения же последней шашки из каждой последовательности длины n-1 делают k последовательностей длины n.

В программе, помимо последовательности x[1]..x[n], будем хранить массив d[1]..d[n] из чисел +1 и -1 ( +1 соответствует стрелке вверх, -1 - стрелке вниз).

Начальное состояние: x[1]=...=x[n]=1 ; d[1]=...=d[n]=1.

Приведем алгоритм перехода к следующей последовательности (одновременно выясняется, возможен ли переход - ответ становится значением булевской переменной p ).

{если можно, сделать шаг и положить p := true, если нет,
 положить p := false }
i := n;
while (i > 1) and
| (((d[i]=1) and (x[i]=n)) or ((d[i]=-1) and (x[i]=1)))
|   do begin
| i:=i-1;
end;
if (d[i]=1 and x[i]=n) or (d[i]=-1 and x[i]=1) then begin
| p:=false;
end else begin
| p:=true;
| x[i] := x[i] + d[i];
| for j := i+1 to n do begin
| | d[j] := - d[j];
| end;
end;

Замечание. Для последовательностей нулей и единиц возможно другое решение, использующее двоичную систему. (Именно оно связывается обычно с названием "коды Грея".)

Запишем подряд все числа от 0 до 2^n-1 в двоичной системе. Например, для n=3 напишем:

000\quad 001\quad 010\quad 011
 \quad 100\quad 101\quad 110\quad 111
Затем каждое из чисел подвергнем преобразованию, заменив каждую цифру, кроме первой, на ее сумму с предыдущей цифрой (по модулю 2 ). Иными словами, число a_1,
a_2,\ldots,a_n преобразуем в a_1, a_1 + a_2, a_2 +
a_3,\ldots,a_{n-1} +
a_n (сумма по модулю 2 ). Для n=3 получим:
000\quad 001\quad 011\quad 010\quad 110
\quad 111\quad 101\quad 100

Легко проверить, что описанное преобразование чисел обратимо (и тем самым дает все последовательности по одному разу). Кроме того, двоичные записи соседних чисел отличаются заменой конца 011\ldots1 на конец 100\ldots0, что - после преобразования - приводит к изменению единственной цифры.

Применение кода Грея. Пусть есть вращающаяся ось, и мы хотим поставить датчик угла поворота этой оси. Насадим на ось барабан, выкрасим половину барабана в черный цвет, половину в белый и установим фотоэлемент. На его выходе будет в половине случаев 0, а в половине 1 (т.е. мы измеряем угол "с точностью до 180 ").

Развертка барабана:


Сделав рядом другую дорожку из двух черных и белых частей и поставив второй фотоэлемент, получаем возможность измерить угол с точностью до 90^\circ:


Сделав третью,


мы измерим угол с точностью до 45^\circ и т.д. Эта идея имеет, однако, недостаток: в момент пересечения границ сразу несколько фотоэлементов меняют сигнал, и если эти изменения произойдут не совсем одновременно, на какое-то время показания фотоэлементов будут бессмысленными. Коды Грея позволяют избежать этой опасности. Сделаем так, чтобы на каждом шаге менялось показание лишь одного фотоэлемента (в том числе и на последнем, после целого оборота).


Написанная нами формула позволяет легко преобразовать данные от фотоэлементов в двоичный код угла поворота.

Заметим также, что геометрически существование кода Грея означает наличие "гамильтонова цикла" в n -мерном кубе (возможность обойти все вершины куба по разу, двигаясь по ребрам, и вернуться в исходную вершину).

2.5.2. Напечатать все перестановки чисел 1..n так, чтобы каждая следующая получалась из предыдущей перестановкой (транспозицией) двух соседних чисел. Например, при n=3 допустим такой порядок:

\begin{center}\ttfamily
3.2 1~$\to$ 2 3.1~$\to$ 2.1 3~$\to$ 1 2.3~$\to$
1.3 2~$\to$ 3 1 2
\end{center}
(между переставляемыми числами вставлены точки).

Решение. Наряду с множеством перестановок рассмотрим множество последовательностей y[1]..y[n] целых неотрицательных чисел, для которых \hbox{\texttt{y[1]}}\le \hbox{\texttt{0}}, \dots, \hbox{\texttt{y[n]}}\le \hbox{\texttt{n-1}}. В нем столько же элементов, сколько в множестве всех перестановок, и мы сейчас установим между ними взаимно однозначное соответствие. Именно, каждой перестановке поставим в соответствие последовательность y[1]..y[n], где y[i] - количество чисел, меньших i и стоящих левее i в этой перестановке. Взаимная однозначность вытекает из такого замечания. Перестановка чисел 1..n получается из перестановки чисел 1..n-1 добавлением числа n, которое можно вставить на любое из n мест. При этом к сопоставляемой с ней последовательности добавляется еще один член, принимающий значения от 0 до n-1, а предыдущие члены не меняются. При этом оказывается, что изменение на единицу одного из членов последовательности y соответствует транспозиции двух соседних чисел, если все следующие числа последовательности y принимают максимально или минимально возможные для них значения. Именно, увеличение y[i] на 1 соответствует транспозиции числа i с его правым соседом, а уменьшение - с левым.

Теперь вспомним решение задачи о перечислении всех последовательностей, на каждом шаге которого один член меняется на единицу. Заменив прямоугольную доску доской в форме лестницы (высота i -ой вертикали равна i ) и двигая шашки по тем же правилам, мы перечислим все последовательности y, причем i -ый член будет меняться как раз только если все следующие шашки стоят у края. Надо еще уметь параллельно с изменением y корректировать перестановку. Очевидный способ требует отыскания в ней числа i ; это можно облегчить, если помимо самой перестановки хранить функцию

\\begin{center}
       \texttt{i}~$\mapsto$ позиция числа~\texttt{i} в~перестановке,
\end{center}
т.е. обратное к перестановке отображение, и соответствующим образом ее корректировать. Вот какая получается программа:

program test;
| const n=...;
| var
|   x: array [1..n] of 1..n; {перестановка}
|   inv_x: array [1..n] of 1..n; {обратная перестановка}
|   y: array [1..n] of integer; {y[i] < i}
|   d: array [1..n] of -1..1; {направления}
|   b: boolean;
|
| procedure print_x;
| | var i: integer;
| begin
| | for i:=1 to n do begin
| | | write (x[i], ' ');
| | end;
| | writeln;
| end;
|
| procedure set_first;{первая: y[i]=0 при всех i}
| | var i : integer;
| begin
| | for i := 1 to n do begin
| | | x[i] := n + 1 - i;
| | | inv_x[i] := n + 1 - i;
| | | y[i]:=0;
| | | d[i]:=1;
| | end;
| end;
|
| procedure move (var done : boolean);
| | var i, j, pos1, pos2, val1, val2, tmp : integer;
| begin
| | i := n;
| | while (i > 1) and (((d[i]=1) and (y[i]=i-1)) or
| | |  ((d[i]=-1) and (y[i]=0))) do begin
| | | i := i-1;
| | end;
| | done := (i>1); {упрощение: первый член нельзя менять}
| | if done then begin
| | | y[i] := y[i]+d[i];
| | | for j := i+1 to n do begin
| | | | d[j] := -d[j];
| | | end;
| | | pos1 := inv_x[i];
| | | val1 := i;
| | | pos2 := pos1 + d[i];
| | | val2 := x[pos2];
| | | {pos1, pos2 - номера переставляемых элементов;
| | |   val1, val2 - их значения; val2 < val1}
| | | tmp := x[pos1];
| | | x[pos1] := x[pos2];
| | | x[pos2] := tmp;
| | | tmp := inv_x[val1];
| | | inv_x[val1] := inv_x[val2];
| | | inv_x[val2] := tmp;
| | end;
| end;
|
begin
| set_first;
| print_x;
| b := true;
| {напечатаны все перестановки до текущей включительно;
|   если b ложно, то текущая - последняя}
| while b do begin
| | move (b);
| | if b then print_x;
| end;
end.
< Лекция 1 || Лекция 2: 12345 || Лекция 3 >
Татьяна Новикова
Татьяна Новикова
Россия, Пошатово
Artem Bardakov
Artem Bardakov
Россия