Цепи Маркова

Теорема 10.1. Если в полном ориентированном графе с вершинами хотя бы две вершины имеют одинаковые степени выхода, то в этом ориентированном графе найдутся такие вершины, что дуги (ребра), соединяющие их, образуют ориентированный цикл.

Задача 2. Турнир между шахматистами закончился без ничьих. Можно ли пронумеровать всех участников в таком порядке, чтобы оказалось, что каждый выиграл партию у шахматиста, имеющего номер на единицу больше?

Решение. Достаточно выяснить, что всякий полный ориентированный граф с вершинами имеет простой путь, проходящий через все вершины орграфа. Доказательство: проведем методом математической индукции по числу вершин орграфа.

Для утверждение верно. Теперь предположим, что в любом полном орграфе с вершинами найдется простой путь, проходящий через все вершины графа. Обозначим его . Добавим теперь произвольную вершину и ребра (дуги), соединяющие ее со всеми остальными вершинами орграфа .

Если ребро (дуга), соединяющее и , направлено от к , то пройден путь до (рис. 10.3). Если ребро (дуга) направлено от к , то рассмотрим последовательность ребер (дуг), соединяющих с . Если все ребра (дуги) направлены от , то к пути можно добавить ребро .

Если они не все выходят из , то возьмем первое ребро (дугу) этой последовательности, входящее в . Пусть это будет ребро (дуга) (рис. 10.4).

Прервем путь в и продолжим его по ребрам (дугам) , , после чего вновь вернемся к прежнему маршруту, то есть искомый путь будет следующим: , , ,

По принципу математической индукции утверждение верно для всякого натурального .

А коль есть такой путь в графе, следовательно, всех игроков можно будет пронумеровать так, чтобы оказалось, что каждый выиграл партию у шахматиста, имеющего номер на единицу меньше.

Рис. 10.3.

Рис. 10.4.

Полученный результат сформулируем в виде теоремы.

Теорема 10.2. Всякий полный орграф с вершинами имеет простой ориентированный путь, проходящий через все вершины орграфа.