Представления о планарном графе

Триангулированный граф

Рассмотрим плоский граф с пятью вершинами.

Если добавить к нему ребра и , то полученный новый граф тоже будет плоским.

К этому графу не удается добавить ни одного ребра так, чтобы новый граф тоже был плоским.

Плоский граф называется максимально плоским, если невозможно добавить к нему ни одного ребра так, чтобы полученный граф был плоским. Изображенный граф является максимально плоским.

Каждая грань в плоском представлении максимально плоского графа имеет вершины. Поэтому максимально плоский граф называют триангулированным.

Операция добавления новых ребер, в результате которой в плоском представлении каждая грань имеет ровно 3 вершины, называется триангуляцией графа.

Задачи

Задача 1. На участке три дома и три колодца. От каждого дома к каждому колодцу ведет тропинка.

Граф G

Когда владельцы домов поссорились, они задумали проложить дороги от каждого дома к каждому колодцу так, чтобы не встречаться на пути к колодцам. Нужно показать, что их намерения не могут осуществиться.

Решение. Для решения задачи достаточно доказать, что граф , изображенный на рисунке, не плоский.

Предположим, что граф — плоский, то есть существует его плоское представление. Граф — связный, он не имеет ни одного моста, поэтому не имеет и перегородок. По формуле Эйлера, . Здесь — число вершин, — число ребер, — число граней с учетом бесконечной грани. Подсчитаем число вершин и ребер: = 6, = 9, поэтому .

Теперь оценим удвоенное число ребер . Заметим, что в графе нет простых циклов длиной 3, то есть граница любой грани в плоском представлении графа содержит не менее четырех ребер. Заметим, что каждое ребро служит границей двух граней, так как мы учитываем и бесконечную грань. При этом число не может быть больше удвоенного числа всех ребер: . Если бы мы знали число ребер в границе каждой грани, то их сумма должна быть равна ; но известно, что , а , откуда . Полученное противоречие доказывает, что предположение было неверное, то есть граф — не плоский. Таким образом, намерения соседей неосуществимы.

Задача 2. Каждый из четырех соседей соединил свой дом с тремя другими дорожками, которые пересекались лишь около домов.

Граф G

Требуется доказать, что дом пятого соседа со всеми остальными домами соединить непересекающимися дорожками невозможно, то есть он вынужден построить мост или рыть подземный ход.

Решение. Решение задачи сводится к доказательству того, что полный граф с пятью вершинами не является плоским.

Предположим, что граф плоский, то есть существует его плоское представление. Граф — связный, он не имеет перегородок, так как не имеет ни одного моста. Для плоского представления графа верна формула Эйлера. Подсчитаем число вершин и ребер: , , тогда .

Оценим удвоенное число ребер . Каждая грань ограничена не более чем тремя ребрами (граф полный). Каждое ребро принадлежит границам двух граней, поэтому число не может быть больше числа , то есть . Но , а , то есть , . Противоречие доказывает, что предположение было неверным, то есть граф — не плоский.