Представления о планарном графе

Гомеоморфные графы

Теорема (Куратовский, 1930) Граф планарен тогда и только тогда, если не содержит подграфов, гомеоморфных или .

Поскольку доказательство теоремы Куратовского довольно длинное и сложное, здесь оно не приводится (см. Ф.Харари. Теория графов. М.: "Мир". 1973). Тем не менее, воспользуемся теоремой Куратовского для получения другого критерия планарности. Рассмотрим еще два определения. Элементарным стягиванием называется такая процедура: берем ребро (вместе с инцидентными ему вершинами, например, и ) и"стягиваем" его, то есть удаляем и отождествляем и . Полученная при этом вершина инцидентна тем ребрам (отличным от ), которым первоначально были инцидентны или .

Пример.

Граф называется стягиваемым к графу , если можно получить из с помощью некоторой последовательности элементарных стягиваний.

Граф планарен тогда и только тогда, если он не содержит подграфов, стягиваемых к или к .

Формула Эйлера

Для всякого плоского представления связного плоского графа без перегородок число вершин ( ), число ребер ( ) и число граней с учетом бесконечной ( ) связаны соотношением .

Пусть граф — связный, плоский граф без перегородок. Определим значение алгебраической суммы для его произвольного плоского представления.

Преобразуем данный граф в дерево, содержащее все его вершины. Для этого удалим некоторые ребра графа , разрывая поочередно все его простые циклы, причем так, чтобы граф оставался связным и без перегородок.

Заметим, что при таком удалении одного ребра число граней уменьшается на , так как при этом либо пропадет один простой цикл, либо два простых цикла преобразуются в один. Следовательно, значение разности при этом остается неизменным.

На рисунке ребра, которые мы удаляем, изображены кривыми. В полученном дереве обозначим число вершин — , число ребер — , число граней — . Справедливо равенство .

В дереве одна грань, то есть . Операция удаления ребер из графа не меняет число его вершин, то есть . По теореме 2.1 (см. "Некоторые определения теории графов" ), в дереве . Отсюда , то есть , а потому или .

Итак, доказано, что если в плоском представлении связного графа без перегородок вершин, ребер и граней, то . Полученная формула называется формулой Эйлера.

Пример.