НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию множеств. Лекция 13: Индуктивные определения и степени

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 21.02.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 29 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Теорема 40. Указанное правило задает полный порядок на множестве $[B\to A]$ и порядковый тип этого множества есть $\alpha^\beta$ .

Доказательство. Нам надо проверить, что указанный порядок является полным и что выполнены требования индуктивного определения степени.

Назовем носителем элемента $f\hm\in[B\to A]$ множество тех $b\hm\in B$ , для которых $f(b)\hm>0$ (здесь обозначает наименьший элемент множества ). Назовем рангом функции наибольший элемент носителя (по определению носитель конечен, так что наибольший элемент существует). Ранг определен для всех функций, кроме тождественно нулевой, которая является минимальным элементом множества $[B\to A]$ . Чем больше ранг функции, тем больше сама функция в смысле введенного нами порядка.

Пусть порядок на $[B\to A]$ не является полным и $f_0\hm>f_1\hm>f_2\hm>\ldots$ - убывающая последовательность элементов $[B\to A]$ . Все элементы f_i отличны от ; рассмотрим их ранги. Эти ранги образуют невозрастающую последовательность, поэтому начиная с некоторого места стабилизируются (множество вполне упорядочено). Отбросим начальный отрезок и будем считать, что с самого начала ранги всех элементов убывающей последовательности одинаковы и равны некоторому . В соответствии с определением, значения $f_0(b), f_1(b),\dots$ образуют невозрастающую последовательность, поэтому начиная с некоторого места стабилизируются. Отбросив начальный отрезок, будем считать, что все f_i имеют одинаковый ранг и одинаковое значение f_i(b) . Тогда значения f_i(b) не влияют на сравнения, и потому их можно заменить на . Получим убывающую последовательность элементов $[B\to A]$ с рангами меньше . Чтобы завершить рассуждение, остается сослаться на принцип индукции по множеству .

(Более формально, рассмотрим все бесконечно убывающие последовательности. У каждой из них рассмотрим ранг первого элемента. Рассмотрим те из них, у которых этот ранг минимально возможный; пусть - это минимальное значение. В любой такой последовательности все элементы имеют ранг . Из всех таких последовательностей $f_0\hm>f_1\hm>\ldots$ выберем ту, у которой значение f_0(b) минимально; все следующие ее члены имеют то же значение в точке (т.е. $f_i(b)\hm=f_0(b)$ ). Заменив значение в точке нулем, получим бесконечную убывающую последовательность из элементов меньшего ранга, что противоречит предположению.)

Теперь покажем, что такое явное определение степени согласовано с индуктивным определением. Для конечных это очевидно. Пусть $\gamma\hm=\beta\hm+1$ . Каково (явное) определение $\alpha^\gamma$ ? Пусть упорядочено по типу $\beta$ . Тогда мы должны добавить к новый наибольший элемент (обозначим его ) и рассмотреть отображения $B\cup\{m\}\to A$ с конечным носителем. Ясно, что такое отображение задается парой, состоящей из его сужения на (которое может быть произвольным элементом множества $[B\to A]$ ) и значения на . При определении порядка мы сначала сравниваем значения на , а потом сужения на , то есть полученное множество изоморфно $[B\to A]\hm\times A$ , что и требовалось.

Пусть теперь $\gamma$ - ненулевой предельный ординал и множество упорядочено по типу $\gamma$ . Как устроено множество ${[C\to A]}$ ? Элементы, ранг которых меньше $c\hm\in C$ , образуют в нем начальный отрезок, и этот начальный отрезок изоморфен $[[0,c)\to A]$ . А само множество $[C\to A]$ является объединением этих начальных отрезков (поскольку каждый элемент этого множества имеет конечный носитель) и потому его порядковый тип является точной верхней гранью их порядковых типов, что и требовалось.

Непосредственным следствием этой теоремы является такое утверждение:

Теорема 41.Если $\alpha$ и $\beta$ - счетные ординалы, то $\alpha+\beta$ , $\alpha\beta$ и $\alpha^\beta$ счетны.

Доказательство. Для суммы и произведения утверждение очевидно. Для степени: если мы пронумеровали все элементы вполне упорядоченных множеств и , то любой элемент множества $[B\to A]$ может быть задан конечным списком натуральных чисел (носитель и значения на элементах носителя), а таких списков счетное число.

133. Докажите, что $\alpha^{\beta+\gamma}=\alpha^\beta\cdot\alpha^\gamma$ двумя способами: по индукции и с использованием явного определения степени.

134. Докажите, что $(\alpha^\beta)^\gamma=\alpha^{\beta\gamma}$ .

135. Докажите, что если $\alpha\ge2$ , то $\alpha^\beta\ge\alpha\beta$ .

136. Докажите, что если $\omega^\gamma=\alpha+\beta$ для некоторых ординалов $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ , то либо $\beta=0$ , либо $\beta=\omega^\gamma$ .

137. Какие ординалы нельзя представить в виде суммы двух меньших ординалов?

138. Докажите счетность $\alpha^\beta$ для счетных $\alpha$ и $\beta$ , используя индуктивное определение степени.

139. Дан некоторый ординал $\alpha\hm>1$ . Укажите наименьший ординал $\beta\hm>0$ , для которого $\alpha\beta\hm=\beta$ . (Указание: что будет, если умножить на степенной ряд $1\hm+x\hm+x^2\hm+x^3\hm+\ldots$ ?)

Отметим важную разницу между операцией возведения ординалов в степень и ранее рассмотренными операциями сложения и умножения ординалов. Определяя сумму и произведение ординалов, мы вводили некоторый порядок на сумме и произведении соответствующих множеств (в обычном смысле), здесь же само множество ${[B\to A]}$ определяется с учетом порядка и отлично от A^B . (В частности, при счетных и множество ${[B\hm\to A]}$ счетно, а A^B - нет.)

Явное описание множества $[B\to A]$ позволяет понять, как устроены его начальные отрезки, то есть какой вид имеют ординалы, меньшие $\alpha^\beta$ .

Рассмотрим некоторую функцию $f\hm\in [B\to A]$ . Пусть она отлична от нуля в точках $b_1\hm>b_2\hm>\ldots\hm>b_k$ и принимает там значения a_1 , a_2 , $\dots$ , a_k . Нас интересуют все функции, меньшие функции .

Все они равны нулю в точках, больших b_1 . В самой точке b_1 они могут быть либо меньше a_1 , либо равны a_1 . Любая функция первого типа меньше любой функции второго типа. Функции первого типа могут принимать любые значения в точках, меньших b_1 , а в точке b_1 имеют значение из [0,a_1) . Тем самым их можно отождествить с элементами множества $[[0,b_1)\to A]\hm\times [0,a_1)$ , и при этом отождествлении сохраняется порядок.

Функции второго типа (равные a_1 в точке b_1 ) снова разбиваются на две категории: те, которые в точке b_2 меньше a_2 и те, которые в b_2 равны a_2 . Функции первой категории отождествляются с элементами множества $[[0,b_2)\to A]\hm\times [0,a_2)$ . Функции второй категории снова разобьем на части в зависимости от их значения в точке b_3 и т.д Таким образом, [0,f) как упорядоченное множество изоморфно множеству