НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию множеств. Лекция 12: Ординалы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 21.02.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 29 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Арифметика ординалов

Мы определили сумму и произведение линейно упорядоченных множеств в "лекции 7" . (Напомним, что в $A\hm+B$ элементы предшествуют элементам , а в $A\hm\times B$ мы сначала сравниваем - компоненты пар, а в случае их равенства- - компоненты.)

Легко проверить следующие свойства сложения:

Сложение ассоциативно: $\alpha\hm+(\beta\hm+\gamma)\hm=(\alpha\hm+\beta)\hm+\gamma$ .
Сложение не коммутативно: например, $1\hm+\omega\hm=\omega$ , но $\omega\hm+1\hm\ne\omega$ .
Очевидно, $\alpha\hm+0\hm=0\hm+\alpha\hm=\alpha$ .
Сумма возрастает при росте второго аргумента: если $\beta_1\hm<\beta_2$ , то $\alpha\hm+\beta_1\hm<\alpha\hm+\beta_2$ . (В самом деле, пусть $\beta_1$ изоморфно начальному отрезку в $\beta_2$ , отличному от всего $\beta_2$ . Добавим к этому изоморфизму тождественное отображение на $\alpha$ и получим изоморфизм между $\alpha\hm+\beta_1$ и начальным отрезком в $\alpha\hm+\beta_2$ , отличным от $\alpha\hm+\beta_2$ .)
Сумма неубывает при росте первого аргумента: если $\alpha_1\hm<\alpha_2$ , то $\alpha_1\hm+\beta \hm\le \alpha_2\hm+\beta$ . (В самом деле, $\alpha_1\hm+\beta$ изоморфно подмножеству в $\alpha_2\hm+\beta$ . Это подмножество не является начальным отрезком, но мы можем воспользоваться теоремой 37.)
Определение суммы согласовано с обозначением $\alpha\hm+1$ для следующего за $\alpha$ ординала. (Здесь - порядковый тип одноэлементного множества.) Следующим за $\alpha\hm+1$ ординалом будет ординал $(\alpha\hm+1)\hm+1\hm=\alpha\hm+(1\hm+1)\hm=\alpha\hm+2$ и т.д.
Если $\alpha\hm\ge\beta$ , то существует единственный ординал $\gamma$ , для которого $\beta\hm+\gamma\hm=\alpha$ . (В самом деле, $\beta$ изоморфно начальному отрезку в $\alpha$ ; оставшаяся часть $\alpha$ и будет искомым ординалом $\gamma$ . Единственность следует из монотонности сложения по второму аргументу.) Заметим, что эту операцию можно называть " вычитание слева".
" Вычитание справа", напротив, возможно не всегда. Пусть $\alpha$ - некоторый ординал. Тогда уравнение $\beta\hm+1\hm=\alpha$ (относительно $\beta$ ) имеет решение тогда и только тогда, когда $\alpha$ - непредельный ординал, (т.е. когда $\alpha$ имеет наибольший элемент).

Определение суммы двух ординалов в силу ассоциативности можно распространить на любое конечное число ординалов. Можно определить и сумму $\alpha_1\hm+\alpha_2\hm+\ldots$ счетной последовательности ординалов (элементы $\alpha_i$ предшествуют элементам $\alpha_j$ при $i\hm<j$ ; внутри каждого $\alpha_i$ порядок прежний). Как легко проверить, это множество действительно будет вполне упорядоченным: чтобы найти минимальный элемент в его подмножестве, рассмотрим компоненты, которые это подмножество задевает, выберем из них компоненту с наименьшим номером и воспользуемся ее полной упорядоченностью.

В этом построении можно заменить натуральные числа на элементы произвольного вполне упорядоченного множества и определить сумму $\sum A_i$ семейства вполне упорядоченных множеств A_i , индексированного элементами , как порядковый тип множества всех пар вида $\langle a,i\rangle$ , для которых $a\in A_i$ . При сравнении пар сравниваются вторые компоненты, а в случае равенства и первые (в соответствующем A_i ). Если все A_i изоморфны одному и тому же множеству , получаем уже известное нам определение произведения $A\hm\times I$ .

Теперь перейдем к умножению ординалов.

Умножение ассоциативно: $(\alpha\beta)\gamma\hm= \alpha(\beta\gamma)$ . (В самом деле, в обоих случаях по существу получается множество троек; тройки сравниваются справа налево, пока не обнаружится различие.)
Умножение не коммутативно: например, $2\hm\cdot\omega\hm=\omega$ , в то время как $\omega\hm\cdot 2\hm\ne\omega$ .
Очевидно, $\alpha\hm\cdot0\hm=0\hm\cdot\alpha=0$ и $\alpha\cdot1\hm=1\cdot\alpha\hm=\alpha$ .
Выполняется одно из свойств дистрибутивности: $\alpha(\beta\hm+\gamma)\hm=\alpha\beta\hm+\alpha\gamma$ (непосредственно следует из определения). Симметричное свойство выполнено не всегда: $(1\hm+1)\hm\cdot\omega\hm=\omega\hm\ne\omega+\omega$ .
Произведение строго возрастает при увеличении второго множителя, если первый не равен . (Для разнообразия выведем это из ранее доказанных свойств: если $\beta_2\hm>\beta_1$ , то $\beta_2\hm=\beta_1\hm+\delta$ , так что $\alpha\beta_2\hm=\alpha(\beta_1\hm+\delta) \hm=\alpha\beta_1 \hm+\alpha\delta \hm>\alpha\beta_1$ .)
Произведение не убывает при возрастании первого множителя. (В самом деле, если $\alpha_1\hm<alpha_2$ , то $\alpha_1\beta$ изоморфно подмножеству $\alpha_2\beta$ . Это подмножество не является начальным отрезком, но можно сослаться на теорему 37.)
Любой ординал, меньший $\alpha\beta$ , однозначно представим в виде $\alpha\beta'\hm+\alpha'$ , где $\beta'\hm<\beta$ и $\alpha'\hm<\alpha$ .
(В самом деле, пусть множества и упорядочены по типам $\alpha$ и $\beta$ . Тогда $A\hm\times B$ упорядочено по типу $\alpha\beta$ . Всякий ординал, меньший $\alpha\beta$ , есть начальный отрезок в $A\hm\times B$ , ограниченный некоторым элементом $\langle a,b\rangle$ . Начальный отрезок $[0,\langle a,b\rangle)$ состоит из пар, у которых второй член меньше , а также из пар, у которых второй член равен , а первый меньше . Отсюда следует, что этот начальный отрезок изоморфен $A\hm\times[0,b)\hm+[0,a)$ , так что остается положить $\beta'\hm=[0,b)$ и $\alpha'\hm=[0,a)$ . Теперь проверим однозначность. Пусть $\alpha\beta'\hm+\alpha'\hm=\alpha\beta''\hm+\alpha''$ . Если $\beta'=\beta''$ , то можно воспользоваться однозначностью левого вычитания и получить, что $\alpha'=\alpha''$ . Остается проверить, что $\beta'$ не может быть, скажем, меньше $\beta''$ . В этом случае $\beta''\hm=\beta'+\delta$ , и сокращая $\alpha\beta'$ слева, получим, что $\alpha'\hm=\alpha\delta+\alpha''$ , что невозможно, так как левая часть меньше $\alpha$ , а правая часть больше или равна $\alpha$ .)
Аналогичное " деление с остатком" возможно и для любых ординалов. Пусть $\alpha\hm>0$ . Тогда любой ординал $\gamma$ можно разделить с остатком на $\alpha$ , то есть представить в виде $\alpha\tau\hm+\rho$ , где $\rho\hm<\alpha$ , и притом единственным образом.
(В самом деле, существование следует из предыдущего утверждения, надо только взять достаточно большое $\beta$ , чтобы $\alpha\beta$ было больше $\gamma$ , скажем, $\beta\hm=\gamma\hm+1$ . Единственность доказывается так же, как и в предыдущем пункте.)
Повторяя деление с остатком на $\alpha>0$ , можно построить позиционную систему счисления для ординалов: всякий ординал, меньший $\alpha^{k+1}$ (здесь - натуральное число), однозначно представим в виде $\alpha^k\beta_k\hm+\alpha^{k-1}\beta_{k-1}\hm+ \ldots\hm+\alpha\beta_1\hm+\beta_0$ , где $\beta_k$ , $\dots$ , $\beta_1$ , $\beta_0$ - ординалы, меньшие $\alpha$ .

127. Для каких ординалов $1\hm+\alpha\hm=\alpha$ ?

128. Для каких ординалов $2\hm\cdot\alpha\hm=\alpha$ ?

129. Какие ординалы представимы в виде $\omega\hm\cdot\alpha$ ?

130. Докажите, что ${\alpha+\beta}\hm=\beta$ тогда и только тогда, когда ${\alpha\omega}\hm\le\beta$ (здесь $\alpha$ и $\beta$ - ординалы).

131. Докажите, что если ${\alpha+\beta}\hm={\beta+\alpha}$ для некоторых ординалов $\alpha$ и $\beta$ , то найдется такой ординал $\gamma$ и такие натуральные числа и , что $\alpha\hm={\gamma m}$ и $\beta\hm={\gamma n}$ .

132. Определим операцию "замены основания" с $k\hm>1$ на $l\hm>k$ . Чтобы применить эту операцию к натуральному числу , надо записать в - ичной системе счисления, а затем прочесть эту запись в - ичной системе. (Очевидно, число при этом возрастет, если оно было больше или равно .) Возьмем произвольное число и будет выполнять над ним такие операции: замена основания с на - вычитание единицы - замена основания с на - вычитание единицы - замена основания с на - вычитание единицы - ... Докажите, что рано или поздно мы получим нуль и вычесть единицу не удастся. (Указание: замените все основания на ординал $\omega$ ; получится убывающая последовательность ординалов.)