Индуктивные функции на пространстве последовательностей

Решим еще одну задачу.

Задача 9.3. Напишите программу, вводящую последовательность вещественных чисел, и печатающую среднее арифметическое ее элементов (для непустой последовательности).

Решение По условию задачи , где . Если , , (цепочка из двух нулей), то , но , следовательно не является индуктивной.

Построим ее индуктивное расширение . Обозначив через сумму элементов последовательности , получаем . Следовательно, в качестве можно взять пару . Для , где , преобразование задается формулой .

Проектируемая программа будет проще, если мы сможем продолжить на с сохранением . Попробуем подобрать подходящую пару такую, чтобы и . Так как , то из последнего равенства получаем , что справедливо при всех . Следовательно, можно положить, например, . Теперь . Отображение тривиально: , а построенное нами расширение не является минимальным, так как значение функцией не принимается.

Текст программы

public class AverSeq{
    public static void main(String[] args) {    
        double y1 = 0., y2 = 0.;
        try {
            while (true) {
                double x = Xterm.inputDouble("x -> ");
                y1  = (y1*y2 + x) / (y2 + 1.);
                y2 += 1;
            }
        } catch(Exception e) {
            Xterm.println("\nf = " + y1);
        }	    
    }
}

Рассмотрим задачу несколько другого типа.

Задача 9.4. Напишите программу, определяющую количество вхождений образца в последовательность символов.

Решение Пусть — множество всех символов, тогда функция . Если , , , то , но , следовательно не является индуктивной.

Заметив, что , будем строить ее индуктивное расширение.

Введем дополнительную функцию , которая будет истинна только тогда, когда кончается на , и рассмотрим функцию . Для нее имеем ,

Необходимо ввести еще одну дополнительную функцию , которая будет истинна только тогда, когда кончается на . Теперь можно рассмотреть . Для нее имеем ,

Так как нам опять не удалось выразить только через и , придется рассмотреть еще одну функцию , которая будет истинна только тогда, когда кончается на . Для функции , действующей в пространство получаем ,

Полученное равенство показывает, что — индуктивное расширение , однако оно достаточно сложно и заведомо не является минимальным, так как , и не являются независимыми. У тройки величин имеется всего четыре допустимых состояния, которые можно представить одним числом:

Сейчас мы докажем, что функция , определенная соотношением является минимальным индуктивным расширением .

Для доказательства индуктивности достаточно предъявить преобразование :

Для доказательства сюръективности функции предъявим прообраз произвольного элемента . Им может служить, например, цепочка, начинающаяся с вхождений образца , за которым следует еще первых символов этого образца. Для того чтобы проверить второе условие критерия минимальности, необходимо убедиться в том, что .

Пусть , и либо , либо . Если , то в качестве можно взять пустую цепочку. В противном случае без ограничения общности можно считать, что . Цепочка заканчивается на первых символа образца , поэтому если в качестве взять последних символа этого образца, то , что и завершает доказательство минимальности .

Текст программы

import java.io.*;
public class ABCDSeq {
    public static void main(String[] args) {    
        DataInputStream in = new DataInputStream(System.in);
        int f = 0, n = 0;
        try {
            while (true) {
                char x = (char)in.readByte();
                if (x=='\n') continue;
                if (x=='d' && n==3) {
                    f += 1; 
                    n  = 0;
                } else if (x=='c' && n==2) {
                    n = 3;
                } else if (x=='b' && n==1) {
                    n = 2;
                } else if (x=='a') {
                    n = 1;
                } else{
                    n = 0;
                }
            }
        } catch(Exception e) {
            Xterm.println("f = " + f);
        }
    }
}

В данной программе используется метод "readByte", который позволяет вводить символы. При этом символ '\n' также оказывается введенным после того, как пользователь нажимает клавишу "Enter" на клавиатуре. Этот символ необходимо игнорировать, что и реализуется в программе оператором "if (x=='\n') continue".

Не использовавшиеся нами ранее операторы "import java.io.*" и "DataInputStream in = new DataInputStream(System.in)" необходимы для вызова метода "readByte". В остальном программа полностью соответствует проведенному перед ее построением исследованию.