Алгоритмы нечеткой оптимизации

Нечеткие цели, ограничения и решения

Непрерывно возрастающая сложность технологии контролируемых объектов настоятельно нуждалась в централизованном управлении и поэтому вызвала к жизни иерархическую структуру принятия решений. Поэтому появилась необходимость разделения всего процесса принятия решений управления на такое число уровней, чтобы решение задачи оптимизации на каждом из них было не сложным. Но с возникновением многоуровневых иерархических систем управления появилась и новая задача согласования и координации решений, принимаемых на всех уровнях.

Общая схема координации в двухуровневой системе сводится к следующему. Элементы передают в центр набор вариантов своей работы. Каждый вариант представляет собой векторный показатель элемента, допустимый с точки зрения его локальных ограничений. На основании получаемых вариантов центр формирует план, оптимальный с точки зрения всей системы. Этот план передается элементам и далее детализируется ими.

Однако при моделировании сложных систем невозможно учесть достаточно большое число реальных факторов, поскольку это привело бы к чрезмерному усложнению модели. Поэтому в модель приходится вводить лишь ограниченное число таких факторов, которые по тем или иным соображениям считаются наиболее существенными. При этом возможны два подхода. Неучтенные в описании модели факторы можно считать абсолютно несущественными и полностью их игнорировать при принятии решений с использованием этой модели. С другой стороны, при втором подходе можно явно не вводить "несущественные факторы" в математическую модель, но учитывать их влияние, допуская, что отклик модели на то или иное воздействие (выбор альтернативы) может быть известен лишь приближенно или нечетко.

В традиционном подходе главными элементами процесса принятия решения являются:

1. Множество альтернатив.
2. Множество ограничений, которые необходимо учитывать при выборе между различными альтернативами.
3. Функция предпочтительности, определяющая переход из пространства альтернатив в некоторое другое пространство и ставящая каждой альтернативе в соответствие выигрыш (или проигрыш), который получают в результате выбора этой альтернативы.

При рассмотрении этого процесса с более общих позиций принятия решений в нечетких условиях естественной представляется другая логическая схема, отличительной чертой которой является симметрия по отношению к целям и ограничениям. Этот подход устраняет различия между целями и ограничениями и позволяет достаточно просто принять на их основе решение.

Под нечеткой целью подразумевается цель, которую можно описать как нечеткое множество в соответствующем пространстве. Пусть — заданное множество альтернатив. Тогда нечеткая цель, или просто цель, будет определяться фиксированным нечетким множеством в .

При обычном подходе функция предпочтительности, используемая в процессе принятия решения, служит для установления линейной упорядоченности на множестве альтернатив. Очевидно, что функция принадлежности нечеткой цели выполняет ту же задачу и может быть получена из функции предпочтительности с помощью нормализации, сохраняющей установленную линейную упорядоченность.

Подобным же образом нечеткое ограничение в пространстве определяется как некоторое нечеткое множество в . Важным моментом здесь является то, что и нечеткая цель, и нечеткое ограничение рассматриваются как нечеткие множества в пространстве альтернатив; это дает возможность не делать между ними различия при формировании решения.

Решение — это по существу выбор одной или нескольких из имеющихся альтернатив. Проблема принятия решения в нечетких условиях интерпретируется тогда как комплексное влияние нечеткой цели и нечеткого ограничения на выбор альтернатив и характеризуется пересечением , которое и образует нечеткое множество решений , т.е.

Функция принадлежности для множества решений задается соотношением

В общем случае, если имеется нечетких целей и нечетких ограничений, то результирующее решение определяется пересечением всех заданных целей и ограничений, т.е.

В приведенном определении нечеткие цели и нечеткие ограничения входят в выражение совершенно одинаковым образом. Такое определение решения как нечеткого множества в пространстве альтернатив может показаться несколько искусственным. На самом деле оно совершенно естественно, поскольку нечеткое решение может рассматриваться как некоторая "инструкция", неформальность которой является следствием неточности формулировки поставленных целей и ограничений.

Во многих случаях все же разумно выбирать те альтернативы, которые имеют максимальную степень принадлежности к . Если таких элементов несколько, то они образуют обычное множество, которое называется оптимальным решением, а каждый элемент этого множества — максимизирующим решением.

Для практики интересен более общий случай, когда нечеткие цели и нечеткие ограничения — нечеткие множества в разных пространствах.

Пусть — отображение из в , причем переменная обозначает входное воздействие, а — соответствующий выход.

Предположим, что нечеткая цель задана как нечеткое множество в , в то время как нечеткое ограничение — нечеткое множество в пространстве . Имея нечеткое множество в , можно найти нечеткое множество в , которое индуцирует в . Функция принадлежности в задается равенством

После этого решение может быть выражено пересечением множеств и . Используя предыдущее соотношение, можно записать

Таким образом, случай, когда нечеткие цели и нечеткие ограничения задаются как нечеткие множества в разных пространствах, может быть сведен к случаю, когда они задаются в одном и том же пространстве.