НОУ ИНТУИТ | Основы теории нечетких множеств. Лекция 13: Алгоритмы нечеткой оптимизации

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.07.2006 | Уровень: специалист | Доступ: свободно

Нечеткий вариант стандартной задачи математического программирования получается, если "смягчить" ограничения, т.е. допустить возможность их нарушения с той или иной степенью. Кроме того, вместо максимизации целевой функции f(x) можно стремиться к достижению некоторого заданного ее значения, причем различным отклонениям значения f(x) от этой величины приписывать различные степени допустимости (например, чем больше отклонение, тем меньше степень его допустимости).

Пусть — заданная величина функции цели f(x) , достижение которой считается достаточным для выполнения цели принятия решений, и пусть имеется пороговый уровень , такой, что неравенство f(x)<a-b означает сильное нарушение неравенства $f(x)\ge a$ . Тогда функцию принадлежности для нечеткой функции цели можно определить следующим образом:

$\begin{equation} \mu _G (x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {0,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}} & {f(x) \leqslant a - b,} \\ {\mu _a (x),} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}} & {a - b < f(x) < a,} \\ {1,} & {\t{\char229}\t{\char241}\t{\char235}\t{\char232}} & {f(x) \geqslant a,} \\ \end{array} } \right. \end{equation}$

( 3)

где $\mu_{a}$ — функция принадлежности, описывающая степени выполнения соответствующего неравенства с точки зрения лица, принимающего решения.

Аналогично определяется функция принадлежности $\mu_{C}(x)$ для нечетких ограничений. В результате исходная задача оказывается сформулированной в форме задачи выполнения нечетко определенной цели, к которой применим подход Беллмана-Заде (2).

При моделировании ситуации в форме задачи линейного программирования

$\begin{equation} \min \{ cx\;|\;Ax \leqslant b,\;x \geqslant 0\} \end{equation}$

( 4)

о коэффициентах $a_{ij}$ , $b_{i}$ и $c_{i}$ известно лишь то, что они находятся в некотором множестве, отражающем все реальные возможности.

В отдельных случаях точное описанное множество ограничений (допустимых альтернатив) может оказаться лишь приближением реальности в том смысле, что в реальной задаче альтернативы вне множества ограничений могут быть не допустимыми, а лишь в той или иной степени менее желательными для лица, принимающего решения, чем альтернативы внутри этого множества.

Рассмотрим задачу нахождения минимума на заданной области. Пусть задана область вида

$\begin{equation} P = \left\{ {x \in R_ + ^n \;|\;a_{i1} x_1 + \ldots + a_{in} x_n \subseteq b_i ,\; i = 1,\ldots,m} \right\}, \end{equation}$

( 5)

где $a_{ij}, b_{i}$ — нечеткие подмножества множества

, а бинарная операция

обозначает сложение нечетких множеств. Требуется найти $\mathop {\min }\limits_{x \in P} \;\{ c,x\}$ на заданной области.

Коэффициент при каждой переменной в ограничениях можно считать функцией полезности, определенной на числовой оси. Можно полагать, что эти коэффициенты дают субъективную оценку различных возможностей, включая, таким образом, другие не определенные ограничения.

Сведем решение исходной задачи к решению ряда задач линейного программирования. Для этого введем дискретные $\alpha$ -уровни. В результате нечеткие ограничения принимают следующий интервальный вид:

$\begin{equation} P = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\sigma _\alpha (a_{i1} )x_1 + \ldots + \sigma _\alpha (a_{in} )x_n ,} & {i = 1,\ldots,m,\;\alpha = 1,\ldots,p,} \\ {x_j \geqslant 0,} & {j = 1,\ldots,n.} \\ \end{array} } \right. \end{equation}$

( 6)

Таким образом, мы перешли от нечетких множеств к четко определенным и теперь, зная, что $\alpha$ — обычный интервал, можем записать нашу задачу в следующем виде:

$\begin{equation} \begin{gathered} (a_{11} , a_{12}) x_{1} + (c_{11}, c_{12}) x_{2}\subseteq (b_{11} , b_{12}),\\ (a_{21} , a_{22}) x_{1} + (c_{21}, c_{22}) x_{2} \subseteq (b_{21} , b_{22}). \end{gathered} \end{equation}$

( 7)

Теперь, чтобы привести задачу к виду обычной задачи линейного программирования, нам достаточно записать неравенства отдельно по левому и правому краям интервалов, с учетом знаков неравенства. Т.е., мы приведем систему к следующему виду:

$\begin{equation} \begin{gathered} a _{11}x_{1} + c_{11}x_{2}\ge b_{11},\\ a _{12}x_{1} + c_{12}x_{2}\le b_{12},\\ a_{21}x_{1} + c_{21}x_{2}\ge b_{21},\\ a_{2}x_{1} + c_{22}x_{2}\le b_{22}. \end{gathered} \end{equation}$

( 8)

С помощью несложных преобразований мы перешли от задачи с нечеткими коэффициентами к задаче линейного программирования с четкими коэффициентами; при этом количество ограничений увеличилось в два раза и полученную задачу мы можем решить симплексным методом.

Таким образом, из рассмотренного примера явно просматривается алгоритм решения задачи с нечеткими коэффициентами. Следуя ходу рассуждений в данном примере, составим такой алгоритм. Он имеет следующий вид:

Исходная задача.
Вводим дискретные $\alpha$ -уровни.
Ограничения принимают интервальный вид.
Записываем неравенства отдельно по левому и правому краям с учетом знаков неравенства (при этом размерность увеличивается).
Получаем задачу ЛП с четкими коэффициентами.
Решаем полученную задачу симплекс-методом.

Как видим, исходная задача нечеткого математического программирования представляется в виде совокупности обычных задач линейного программирования на всевозможных множествах уровня множества допустимых альтернатив. Если альтернатива $x_{0}$ есть решение задачи $\mathop {\min }\limits_{x\in P} \;\{ c,x\}$ на множестве уровня $\alpha$ , то можно считать, что число $\alpha$ есть степень принадлежности альтернативы $x_{0}$ нечеткому множеству решений исходной задачи.

Перебрав, таким образом, всевозможные значения $\alpha$ , получаем функцию принадлежности нечеткого решения.

Если же и компоненты целевой функции $c_{i}$ являются нечеткими, то необходимо выбирать для каждого уровня $\alpha$ соответствующие границы множеств $\sigma_{\alpha}(c_{J})$ , $J=1,\ldots,n$ в соответствии с правилами интервальной арифметики, минимизируя предварительно таким образом: $\{c,x\}$ .

Из данного примера видно, что за гибкость приходится платить ценой увеличения размерности задачи. Фактически, исходная задача с ограничениями по включению преобразуется в задачу с ограничениями в виде неравенств, с которыми легко обращаться; при этом такая цена не слишком высока, поскольку сохраняется возможность использования хорошо разработанных классических методов.

Дальше >>

Основы теории нечетких множеств

Алгоритмы нечеткой оптимизации

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Основы теории нечетких множеств

Алгоритмы нечеткой оптимизации

Вопросы и ответы

Студенты