НОУ ИНТУИТ | Основы теории нечетких множеств. Лекция 12: Нечеткие алгоритмы обучения

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.07.2006 | Уровень: специалист | Доступ: свободно

Вам нравится? Нравится 36 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Обучение на основе условной нечеткой меры

Пусть $X=\{x_{1}, \ldots ,x_{n}\}$ — множество причин (входов) и $Y=\{y_{1}, \ldots ,y_{m}\}$ — множество результатов. Если — функция из в интервал [0,1] , $h(x_1 ) \leqslant \;\ldots\; \leqslant h(x_n )$ и $g_{x}$ — нечеткая мера на , то

$\int\limits_X {h(x)g_x ( \cdot )} = \mathop {\max }\limits_{i = 1,...,n} \;\min (h(x_i ),g_X (H_i )),$

где $H_{i}=\{x_{i}, \ldots ,x_{n}\}$ .

Задача состоит в оценке (уточнении) причин по нечеткой информации.

Пусть $g_{Y}$ — нечеткая мера на , $g_{Y}$ связана с $g_{X}$ условной нечеткой мерой $\sigma_{Y}(\cdot | x)$ :

$g_Y = \int\limits_X {\sigma _Y ( \cdot |x)g_X } .$

Предполагается следующая интерпретация вводимых мер: $g_{X}$ оценивает степень нечеткости утверждения "один из элементов был причиной", $\sigma_{Y}(A| x)$ , $A\subset Y$ оценивает степень нечеткости утверждения "один из элементов является результатом благодаря причине "; $g_{Y}(\{y\})$ характеризует степень нечеткости утверждения: " — действительный результат".

Пусть $\mu_{A}(y)$ описывает точность информации , тогда по определению $g_Y (A) = \int\limits_X {\mu _A (y)g_X }$ .

Метод обучения должен соответствовать обязательному условию: при получении информации нечеткая мера $g_{X}$ меняется таким образом, чтобы $g_{Y}(A)$ возрастала. Предположим, что $g_{X}(\cdot)$ и $\sigma_{Y}( \cdot|x)$ удовлетворяют $\lambda$ -правилу. Пусть $\sigma_{Y}(A|x_{i})$ является убывающей, тогда

$g_Y (A) = \mathop \vee \limits_{i = 1}^n \left[ {\sigma _Y (A|x_i ) \wedge g_X (F_i )} \right],$

где $F_{i}=\{x_{1}, \ldots, x_{i}\}$ . При этих условиях существует

:

$\begin{gathered} g_Y (A) = \sigma _Y (A|x_l ) \wedge g_X (F_l ), \\ \sigma _Y (A|x_l ) \wedge g_X (F_l ) \geqslant \sigma _Y (A|x_{l - 1} ) \wedge g_X (F_{l - 1} ), \\ \sigma _Y (A|x_l ) \wedge g_X (F_l ) > \sigma _Y (A|x_{l + 1} ) \wedge g_X (F_{l + 1} ). \\ \end{gathered}$

Обучение может быть осуществлено увеличением тех значений $g_{i}$ ( $i=1, \ldots ,n$ ) нечеткой меры $g_{X}$ , которые увеличивают $g_{Y}(A)$ , и уменьшением тех значений $g_{i}$ ( $i=1, \ldots ,n$ ) меры $g_{X}$ , которые не увеличивают $g_{Y}(A)$ . Можно показать, что на величину $g_{Y}(A)$ влияют только такие $g_{i}$ , что $1\le i\le l$ . Следовательно, нечеткий алгоритм обучения следующий:

$\begin{gathered} g^i = \alpha g^i + (1 - \alpha )\sigma _Y (A|x_i );\quad \quad i = 1,\ldots,l; \\ g^i = \alpha g^i ;\quad \quad i = l + 1,\ldots,n. \\ \end{gathered}$

Параметр $\alpha\in[0,1]$ регулирует скорость обучения, т.е. скорость сходимости $g^{i}$ . Чем меньше $\alpha$ , тем сильнее изменяется $g^{i}$ . В приведенном алгоритме нет необходимости увеличивать $g^{i}$ больше, чем на $\sigma_{Y}(A|x_{i})$ , так как большое увеличение $g^{i}$ не влияет на $g_{Y}(A)$ . Приведем некоторые свойства модели обучения.

Свойство 1. Если повторно поступает одна и та же информация, то происходит следующее:

a. новое $g^{i}$ больше старого $g^{i}$ ( $i=1, \ldots ,l$ ) и новое $g^{i}$ меньше старого $g^{i}$ ( $i=l+1, \ldots ,n$ ), следовательно, новая мера $g_{Y}(A)$ не меньше старой меры $g_{Y}(A)$ , и новая мера

$g_Y (A) = \sigma _Y (A|x_k ) \wedge g_X (F_k ),\quad \quad k \leqslant l;$

b. при предположении $\sigma_{Y}(A|x_{1}) > \sigma_{Y}(A|x_{2})$ , k<l , $g^{1}$ сходится к $\sigma_{Y}(A|x_{1})$ и $g^{i}$ сходится к 0 для $i=2, \ldots ,n$ .

Свойство 2. Если поступает одна и та же информация повторно: $h_A (y) = c$ для всех , то $\sigma _Y (A|x) = \int\limits_X {c\sigma _Y ( \cdot |x)} = c,\quad \sigma _Y (A) = c \wedge g_X(X)$ .

Следовательно, l=n и $g^{i}$ сходится к для всех .

Свойство 3. Предельное значение $g^{i}$ не зависит от начального значения тогда, когда на вход повторно поступает одна и та же информация.

Пример. Рассмотрим модель глобального поиска экстремума неизвестной функции с несколькими локальными экстремумами. Для поиска глобального экстремума формируются критерии в виде некоторых функций:

$x_{1}$ — оценивает число точек, проанализированных на предыдущих шагах;

$x_{2}$ — оценивает среднее значение функции по результатам предыдущих шагов;

$x_{3}$ — оценивает число точек, значение функции в которых принадлежит десятке лучших в своей области;

$x_{4}$ — оценивает максимум по прошлым попыткам;

$x_{5}$ — оценивает градиент функции.

В описанном случае $g_{X}$ показывает степень важности подмножеств критериев и $\sigma_{Y}(\{y_{j}\}|x_{i})$ оценивает предположение о нахождении экстремума в блоке $y_{j}$ в соответствии с критерием $x_{i}$ . Например, $\sigma_{Y}(\{y_{j}\}|x_{i})$ может зависеть от числа ранее проанализированных точек в блоке $y_{j}$ . Пусть входная информация определяется формулой

$\mu _A (y_j ) = \frac{{p_j - \mathop {\min }\limits_k \;p_k }} {{\mathop {\max }\limits_k \;p_k - \mathop {\min }\limits_k \;p_k }},$

где $p_{k}$ — максимум анализируемой функции, найденный к рассматриваемому моменту в блоке $y_{j}$ . Очевидно, что

сходится к максимизирующему множеству функции. На каждой итерации осуществляется следующее: проверяется заданное число новых точек; число этих точек выбирается пропорционально $g_{Y}(\{y_{j}\})$ ; в~каждой точке $y_{j}$ вычисляется и нормализуется мера $\sigma_{Y}(\cdot |x_{i}$ ); нормализуется $g_{X}$ ; по $\sigma_{Y}$ и $\sigma_{X}$ вычисляется $g_{Y}(\{y_{j}\})$ , а затем $g_{Y}(A)$ ; посредством правил подкрепления корректируется $g_{Y}(\{x_{i}\})$ . Затем выполняется новая итерация, и так до тех пор, пока не сойдется $g_{Y}$ .

Дальше >>

Основы теории нечетких множеств

Нечеткие алгоритмы обучения

Обучение на основе условной нечеткой меры

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Основы теории нечетких множеств

Нечеткие алгоритмы обучения

Обучение на основе условной нечеткой меры

Вопросы и ответы

Студенты