НОУ ИНТУИТ | Алгебра матриц и линейные пространства. Лекция 8: Линейные подпространства линейных пространств

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 10.09.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 63 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: В данной лекции рассматриваются линейные подпространства линейных пространств, приведены определения их суммы и их пересечения, рассмотрено понятие линейной оболочки элементов линейного пространства. Приведены доказательства основных теорем и задачи для самостоятельного рассмотрения

Ключевые слова: поле, линейное пространство, подмножество, базис, доказательство, оболочка, индекс, объединение, прямой, Дополнение, размерность, представление, решетка подпространств, тождество

Линейные подпространства линейных пространств

Пусть K - поле, _K V - линейное пространство над полем K. Непустое подмножество $\varnothing \neq U \subseteq {}_K V$ называется линейным подпространством линейного пространства _K V, если:

$u_1+u_2\in U$ для всех $u_1,u_2\in U$ ;
$ku\in U$ для всех $k\in K$ , $u\in U$ .

Ясно, что _K U - линейное пространство относительно тех же операций сложения элементов и умножения на элементы из поля K, что и в линейном пространстве _K V.

Если U - линейное подпространство в конечномерном линейном пространстве _KV, $n=\dim {}_K V<\infty$ , то $\dim {}_K U \leq \dim {}_K V$ . Действительно, если элементы $u_1,...,u_s\in {}_K U$ линейно независимы в _K U, то эти элементы линейно независимы и в линейном пространстве _K V, $s \leq n$ , поэтому $\dim {}_K U \leq \dim {}_K V$ .

Если _K U - линейное подпространство линейного пространства _K V, ${}_K U\subseteq {}_K V$ и $\dim {}_K U=\dim {}_K V=n$ , то _K U=_K V. Действительно, если {u₁,...,u_n} - базис линейного пространства ${}_K U\psubseteq {}_K V$ , то эти n элементов u₁,...,u_n линейно независимы в _K V и $\dim {}_K V=n$ , поэтому {u₁,...,u_n} - базис линейного пространства _K V. Итак, каждый элемент $v\in V$ имеет вид $v=k_1u_1+...\+k_nu_n\in {}_K U$ , $k_i\in K$ , т. е. _K V=_K U.

Пересечение линейных подпространств

Лемма 9.11.1. Пересечение

$U=\bigcap\limits_{i\in I}U_i$

любого семейства линейных подпространств $\{U_i\subset {}_K V\mid i\in I\}$ линейного пространства _K V является линейным подпространством.

Доказательство. Если $u,u_1,u_2\in U=\bigcap\limits_{i\in I}U_i$ , $k\in K$ , то $u,u_1,u_2\in U_i$ для любого $i\in I$ , поэтому $u_1+u_2,ku\in U_i$ для любого $i\in I$ , т. е. $u_1+u_2,ku\in U=\bigcap\limits_{i\in I}U_i$ .

Следствие 9.11.2. Если U₁ и U₂ - линейные подпространства линейного пространства _K V, то $U_1\cap U_2$ - линейное подпространство в {_K V (наибольшее подпространство среди подпространств, лежащих одновременно в U₁ и в U₂ ).

Сумма линейных подпространств

Если U₁ и U₂ - линейные подпространства линейного пространства _K V, то сумма линейных подпространств

$U_1+U_2 = \{u_1+u_2\mid u_1\in U_1,\ u_2\in U_2\}$

также является линейным подпространством. Действительно, если $u_1+u_2,u'_1+u'_2\in U_1+U_2$ , $u_1,u'_1\in U_1$ , $u_2,u'_2\in U_2$ , $k\in K$ , то

$\begin{align*} (u_1+u_2)+(u'_1+u'_2) &= (u_1+u'_1)+(u_2+u'_2)\in U_1+U_2;\\ k(u_1+u_2) &= ku_1+ku_2\in U_1+U_2. \end{align*}$

Замечание 9.12.1. U₁+U₂ - наименьшее линейное подпространство среди линейных подпространств, содержащих одновременно U₁ и U₂. Более того,

$U_1+U_2=\bigcap_{\substack{U\subseteq {}_K V\\ U_1\subseteq U,\ U_2\subseteq U}} U.$

Замечание 9.12.2. Если U, U₁, U₂, U₃ - линейные подпространства в _K V, то

$\begin{gathe} U\cap U = U,\quad U+U = U,\\ U_1\cap U_2 = U_2\cap U_1, \quad U_1 + U_2 = U_2 + U_1,\\ U_1\cap (U_2\cap U_3) = (U_1\cap U_2)\cap U_3,\\ U_1 + (U_2+U_3) = (U_1+U_2)+U_3,\\ U_1\cap (U_1+U_2) = U_1,\quad U_1+(U_1\cap U_2)=U_1. \end{gathe}$

Линейная оболочка элементов линейного пространства

Пусть _K V - линейное пространство, $v_1,...,v_m\in {}_K V$ . Рассмотрим

$\langle v_1,...,v_m\rangle= \{k_1v_1+...+k_mv_m\mid k_1,...,k_m\in K\} \text{ -}$

совокупность всех линейных комбинаций k₁v₁+...+k_mv_m элементов v₁,...,v_m с коэффициентами $k_1,...,k_m\in K$ , называемую линейной оболочкой элементов v₁,...,v_m. Линейная оболочка $\langle v_1,...,v_m\rangle$ является наименьшим линейным подпространством, содержащим элементы v₁,...,v_m. Действительно,

$\begin{mult} (k_1v_1+...+k_mv_m)+(l_1v_1+...+l_mv_m)={} \\ {}= (k_1+l_1)v_1+...+(k_m+l_m)v_m; \end{mult}$

k(k₁v₁+...+k_mv_m)=(kk₁)v₁+...+(kk_m)v_m; если U - линейное подпространство в _K V, $v_1,...,v_m\in U$ , то $k_1v_1+...+k_mv_m\in U$ , следовательно, $\langle v_1,...,v_m\rangle\subseteq U$ . Более того,

$\langle v_1,...,v_m\rangle = \bigcap_{\substack{U\subseteq {}_K V\\ v_1,...,v_m\in U}} U.$

Замечание 9.13.1. Если $0\neq v\in {}_K V$ , то $\langle v\rangle=Kv=\{kv\mid k\in K\}$ , $\dim\langle v\rangle=1$ ; если v=0, $\langle v\rangle=Kv=\{0\}$ .

Замечание 9.13.2. $\langle v_1,...,v_m\rangle= Kv_1+...+Kv_m$ .

Замечание 9.13.3. $\dim {}_K \langle v_1,...,v_m\rangle=r\{v_1,...,v_m\}$ ; любая максимальная линейно независимая подсистема в {v₁,...,v_m} является базисом линейного подпространства $\langle v_1,...,v_m\rangle$ .

Основная лемма о линейной зависимости может быть сформулирована в следующей эквивалентной форме.

Теорема 9.13.4 (о замене). Пусть $v_1,...,v_s\in {}_K V$ - линейно независимая система, $u_1,...,u_r\in \langle v_1,...,v_s\rangle$ , {u₁,...,u_r} - линейно независимая система элементов. Тогда $r \leq s$ и

$\langle v_1,...,v_s\rangle = \langle u_1,...,u_r,v_{i_{r+1}},...,v_{i_s}\rangle,$

где

$1 \leq i_{r+1}<...<i_s \leq s.$

Доказательство. Так как $s=\dim_K \langle v_1,...,v_s\rangle$ , то $r \leq s$ . Если r=s, то $\langle v_1,...,v_s\rangle=\langle u_1,...,u_r\rangle$ . Если r<s, то найдется $v_{i_{r+1}}\notin \langle u_1,...,u_r\rangle$ (индекс i_r+1 - минимальный с этим свойством). Продолжая этот процесс, построим базис $\{u_1,...,u_r,v_{i_{r+1}},...,v_{i_s}\}$ в $\langle v_1,...,v_s\rangle$ .

Следствие 9.13.5. Пусть U, W - линейные подпространства в _K V и $U\subseteq W$ , $\dim {}_K U=l$ , $\dim {}_K W=m$ . Тогда $l \leq m$ и любой базис подпространства U можно дополнить m-l элементами до базиса подпространства W. В частности, если $U \subseteq W$ и l=m, то U=W.

Теорема 9.13.6 (формула размерности). Пусть U, W - линейные подпространства в _K V, $\dim {}_K V=n<\infty$ . Тогда

$\dim {}_K U+\dim {}_K W = \dim {}_K (U\cap W) + \dim {}_K (U+W),$

или, что эквивалентно,

$\dim {}_K (U+W) = \dim {}_K U+\dim {}_K W - \dim {}_K (U\cap W).$

Доказательство. Пусть $\dim {}_K (U\cap W)=d$ , $\dim {}_K U=s$ , $\dim {}_K W=t$ . Ясно, что $0 \leq d \leq s$ , $d \leq t$ . При d=0 утверждение очевидно (объединение базисов в U и W дает базис в U+W ). Выберем базис v₁,...,v_d линейного пространства $U\cap W$ и дополним его до базиса v₁,...,v_d,u₁,...,u_s-d линейного пространства U и до базиса v₁,...,v_d,w₁,...,w_t-d линейного пространства W. Ясно, что

$U+W=\langle v_1,...,v_d,u_1,...,u_{s-d},w_1,...,w_{t-d}\rangle.$

Если

$\lambda_1 v_1 +...+\lambda_d v_d + \mu_1 u_1 +...+ \mu_{s-d} u_{s-d} + \gamma_1 w_1 +...+ \gamma_{t-d}w_{t-d}=0,$

то

$\sum_{i=1}^{d}\lambda_i v_i + \sum_{j=1}^{s-d} \mu_j u_j = -\sum_{k=1}^{t-d} \gamma_k w_k \in U\cap W,$

поэтому $\mu_1=...=\mu_{s-d}=0$ , $\gamma_1=...=\gamma_{t-d}=0$ . Следовательно, $\lambda_1=...=\lambda_d=0$ . Таким образом,

$\{v_1,...,v_d,u_1,...,u_{s-d},w_1,...,w_{t-d}\}\text{ -}$

базис линейного подпространства U+W, откуда s+t = d+(s-d)+d+(t-d)=d+(d+(s-d)+(t-d)), поэтому

$\dim {}_K U+\dim {}_K W=\dim {}_K U\cap W + \dim {}_K (U+W).$

Теорема 9.13.7 (о существовании прямого дополнения подпространства). Пусть $\dim {}_K V=n<\infty$ , U - линейное подпространство в _K V. Тогда существует линейное подпространство W в _K V такое, что

$U+W=V,\quad U\cap W=\{0\},$

(называемое прямым дополнением подпространства U в _K V ; в этом случае также говорят, что линейное пространство _K V является прямой суммой линейных подпространств U и W, обозначение: ${}_K V=U\oplus W$ ).

Доказательство. Если $\dim {}_K U=r$ и {u₁,...,u_r} - базис в _K U, то дополним его до базиса линейного пространства _K V: u₁,...,u_r,v₁,...,v_n-r. Пусть $W=\langle v_1,...,v_{n-r}\rangle$ . Тогда _K V=U+W, $U\cap W=\{0\}$ .

Замечание 9.13.8. Конечно, прямое дополнение определено неоднозначно, однако все прямые дополнения линейного пространства изоморфны (а именно, все они имеют размерность $\dim {}_K V-\dim {}_K U$ ).

Замечание 9.13.9. Если ${}_K V=U\oplus W$ , то представление элемента $v\in V$ в виде v=u+w, $u\in U$ , $w\in W$ , определено однозначно (действительно, если v=u+w=u'+w', $u'\in U$ , $w'\in W$ , то $u-u'=w'-w\in U\cap W=\{0\}$ , следовательно, u=u', w=w' ), и поэтому линейное пространство ${}_K V=U\oplus W$ изоморфно \emph{внешней прямой} сумме $\{(u,w)\mid u\in U,\ w\in W\}$ линейных пространств _K U и _K W с естественными операциями сложения пар и их умножения на $c\in K$ .