Многочлены от матриц, теорема Гамильтона-Кэли. Обратная матрица
Многочлены от матриц, теорема Гамильтона-Кэли
![f(t)=a_0+a_1t+...+a_nt^n\in K[t] \text{ -}](/sites/default/files/tex_cache/2057e6f3cc1db85b16c480400494917e.png)


![E=E_n=
\begin{pmatrix}
1 & &
\lefteqn{\raisebox{-5pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-10pt}\Large 0 }}}\\ & \ddots\\
\lefteqn{\raisebox{0pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{0pt}\Large 0 }}}
& & 1
\end{pmatrix} \in M_{n}(K)\text{ -}](/sites/default/files/tex_cache/29b6342a7806e8365396c570bea9ad3a.png)


Пример 8.6.1. Пусть ,


Упражнение 8.6.2. Пусть






Теорема 8.6.3. Пусть K - поле,

![\Delta_A: K[t]\to M_{n}(K) \text{ -}](/sites/default/files/tex_cache/74147d7b0d14f595f1046327172d4b41.png)

![f(t)\in K[t]](/sites/default/files/tex_cache/58a962cb10c776f2f89e1085ff6cf7e8.png)
-
- гомоморфизм K -алгебр, т. е.
для всех,
;
-
- ненулевой идеал кольца K[t].
-
Пусть f(t) = a0+a1t+...+antn, g(t) = b0+b1t+...+bmtm, где
, и пусть
. Тогда
а) если
, то
(здесь bn=...=bm+1=0 );б) если (fg)(t)=c0+c1t+...+cm+ntm+n, где
тос другой стороны,т. е. (fg)(A)=f(A)g(A) ;в)
-
Если
,
,
, то f(A)=0, g(A)=0, и поэтому
Итак,(т. е.
- идеал K -алгебры K[t] ).
Так как система матриц
линейно зависима в Mn(K) (поскольку), то найдутся (не все нулевые) элементы
, для которых
т. е.Итак,.
Замечание 8.6.4. Более сильное утверждение о том, что


Теорема 8.6.5 (теорема Гамильтона—Кэли). Пусть K - поле (или даже коммутативное ассоциативное кольцо с 1 ), ,
- характеристический многочлен квадратной матрицы A,
. Тогда

![D=A-tE=(d_{ij})\in M_n(K[t]),](/sites/default/files/tex_cache/130d1570e55a16afe9f48211f344305b.png)
![d_{ij}\in K[t]](/sites/default/files/tex_cache/41045669299e2f6b239d2153422fc8f5.png)
![B=(b_{ij})\in M_n(K[t]),](/sites/default/files/tex_cache/e88ba9f65e976eb6229edc6d855cec19.png)
![b_{ij}=D_{ji}\in K[t]](/sites/default/files/tex_cache/bd4ccbfc0b929c383ce1678660a9bca9.png)




![]() |
( 8.1) |

![]() |
( 8.2) |
![]() |
( 8.3) |

Замечание 8.6.6. Отметим, что равенства (8.2) показывают, что матрицы B0,B1,...,Bn-1 являются многочленами от матрицы A, в частности, BiA=ABi, i=0,1,...,n-1. Поэтому можно было подставить в (8.1) вместо переменной t матрицу A, и тогда

Замечание 8.6.7. Очевидное равенство не является доказательством теоремы Гамильтона Кэли.
Упражнение 8.6.8. Аннулирующий многочлен минимальной степени жордановой клетки r -го порядка


Упражнение 8.6.9. Если

