НОУ ИНТУИТ | Алгебра матриц и линейные пространства. Лекция 3: Линейные преобразования линейных пространств столбцов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 10.09.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 63 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Данная лекция посвящена линейным преобразованиям линейных пространств столбцов, задаваемых прямоугольной матрицей. Рассмотрены основные определения, приведены доказательства базовых теорем и упражнения для самостоятельного рассмотрения

Ключевые слова: матрица, отображение, доказательство, линейное пространство, Произведение

Линейные преобразования линейных пространств столбцов, задаваемые (прямоугольной) матрицей

Рассмотрим линейные пространства столбцов над полем K (например, над полем R действительных чисел)

$\begin{align*} & U=\hat K^n = \left\{\left.X=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\right| x_i\in K\right\},\\[3mm] & V=\hat K^m = \left\{\left.Y=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_m\end{pmatrix}\right| y_i\in K\right\}. \end{align*}$

Каждая $(m\times n)$ -матрица F=(f_ij), $f_{ij}\in K$ , задает отображение $f: U\to V$ ,

$f(X)=Y=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_m\end{pmatrix}$

для всех

$\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=X\in U=\hat K^n,$

где

$\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c} y_1 & {}={} & f_{11}x_1 & {}+...+{} & f_{1n}x_n,\\ \vdots & & \vdots & & \vdots\\ y_m & {}={} & f_{m1}x_1 & {}+...+{} & f_{mn}x_n. \end{array}$

Теорема 7.0.6. Отображение

$f: U=\hat K^n\to V=\hat K^m,$

задаваемое прямоугольной $(m\times n)$ -матрицей F=(f_ij), обладает следующими свойствами:

f(X+X')=f(X)+f(X') для всех $X,X'\in U$ \textup;
f(cX)=cf(X) для всех $c\in K$ , $X\in U$ .

Доказательство. Для

$X= \begin{pmatrix} x_1\\\vdots\\x_n \end{pmatrix},\ \ X'= \begin{pmatrix} x'_1\\\vdots\\x'_n \end{pmatrix},\quad c\in K$

имеем

$X+X'= \begin{pmatrix} x_1+x'_1\\\vdots\\x_n+x'_n \end{pmatrix},\quad cX=\begin{pmatrix}cx_1\\\vdots\\cx_n\end{pmatrix}.$

Применяя отображение f, определяемое прямоугольной матрицей F=(f_ij), к X+X' и cX, соответственно получаем f(X+X')=f(X)+f(X'), f(cX)=cf(X).

Замечание 7.0.7. Отображение $f: U\to V$ из одного линейного пространства U в другое линейное пространство V, удовлетворяющее свойствам

f(X+X')=f(X)+f(X') для всех $X,X'\in U$ ,
f(cX)=cf(X) для всех $c\in K$ , $X\in U$ ,

называется линейным отображением (преобразованием). Тем самым мы показали, что отображение, задаваемое прямоугольной $(m\times n)$ -матрицей F=(f_ij), определяет линейное преобразование соответствующих линейных пространств столбцов:

$f: U=\hat K^n\to V=\hat K^m.$

Пример 7.0.8. Если m=1, то имеем линейную функцию y=f₁x₁+...+f_mx_n из $U=\hat K^n$ в $\hat K^1=K$ .

Пример 7.0.9. Поворот плоскости вокруг точки (0,0) на угол $\alpha$ является линейным отображением $f: \hat R^2\to\hat R^2$ , задаваемым матрицей поворота

$\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \phm \cos\alpha \end{pmatrix}.$

Теорема 7.0.10 (об однозначной определяемости матрицы, задающей линейное отображение столбцов). Пусть

$f: U=\hat K^n \to V=\hat K^m,\ \ g: U=\hat K^n \to V=\hat K^m \text{ -}$

два линейных отображения, задаваемых $(m\times n)$ -матрицами F=(f_ij) и G=(g_ij) соответственно. Тогда f=g в том и только в том случае, когда F=G (т. е. f_ij=g_ij для всех i, j ).

Доказательство.

Если F=G, то ясно, что f=g.
Пусть f=g. Рассмотрим
$e_j= \begin{pmatrix} 0\\ \vdots\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix},$
где 1 стоит в j -й строке, а остальные элементы равны нулю. Тогда
$\begin{pmatrix} f_{1j}\\ \vdots\\ f_{ij}\\ \vdots\\ f_{mj} \end{pmatrix} = f(e_j) = g(e_j) = \begin{pmatrix} g_{1j}\\ \vdots\\ g_{ij}\\ \vdots\\ g_{mj} \end{pmatrix},$
поэтому для любого i имеем f_ij=g_ij, т. е. F=(f_ij)=(g_ij)=G.

Теорема 7.0.11 (о задании любого линейного отображения линейных пространств столбцов матрицей). Пусть

$f: U=\hat K^n\to V=\hat K^m \text{ -}$

линейное отображение линейных пространств столбцов, т. е.

f(X+X')=f(X)+f(X') для всех $X,X'\in U$ ,
f(cX)=cf(X) для всех $c\in K$ , $X\in U$ .

Тогда найдется (и единственная) $(m\times n)$ -матрица F=(f_ij) такая, что определяемое с ее помощью линейное отображение совпадает с линейным отображением f.

Доказательство. Пусть

$e_j = \begin{pmatrix} 0\\ \vdots\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix} \begin{matrix} \vphantom{0}\\ \vphantom{\vdots}\\ \scriptstyle \kern-3mm -\;j\\ \vphantom{\vdots}\\ \vphantom{0} \end{matrix}\;,\quad f(e_j) = \begin{pmatrix} f_{1j}\\ \vdots\\ f_{ij}\\ \vdots\\ f_{mj} \end{pmatrix} \in V = \hat K^m,\ \ f_{ij}\in K.$

Получили $(m\times n)$ -матрицу F=(f_ij).

Для любого

$X= \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} \in U = \hat K^n$

имеем X=x_1e_1+...+x_ne_n. Тогда

$\begin{mult} \smash[b]{\begin{pmatrix} y_1\\ \vdots\\ y_m \end{pmatrix}} = f(X) = x_1f(e_1)+...+x_nf(e_n)={} \\ {}= x_1 \begin{pmatrix} f_{11}\\ \vdots\\ f_{m1} \end{pmatrix} +... + x_n \begin{pmatrix} f_{1n}\\ \vdots\\ f_{mn} \end{pmatrix}, \end{mult}$

т. е.

$\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c} y_1 & {}={} & f_{11}x_1 & {}+...+{} & f_{1n}x_n,\\ \vdots & & \vdots & & \vdots\\ y_m & {}={} & f_{m1}x_1 & {}+...+{} & f_{mn}x_n. \end{array}$

Итак, линейное отображение f задается $(m\times n)$ -матрицей F=(f_ij).

Как мы показали, матрица F=(f_ij) определена однозначно.

Дальше >>

Алгебра матриц и линейные пространства

Алгебра матриц и линейные пространства

Линейные преобразования линейных пространств столбцов

Линейные преобразования линейных пространств столбцов, задаваемые (прямоугольной) матрицей

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Алгебра матриц и линейные пространства

Алгебра матриц и линейные пространства

Линейные преобразования линейных пространств столбцов

Линейные преобразования линейных пространств столбцов, задаваемые (прямоугольной) матрицей

Вопросы и ответы

Студенты