НОУ ИНТУИТ | Алгебра матриц и линейные пространства. Лекция 9: Проективная размерность подпространств и проективная геометрия. Теорема о ранге матрицы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 10.09.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 63 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: В данной лекции рассматриваются базовые понятия проективной геометрии. Приведено очень важное определение ранга матрицы, определена размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Приведены также доказательства основных теорем, а также предоставлены задачи для самостоятельного решения

Ключевые слова: размерность, матрица, определитель, доказательство, ранг, система линейных уравнений совместная, расширенная матрица, система линейных уравнений определенная, система линейных уравнений, произвольное, базис, алгоритм, фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений, поле, линейная оболочка строк, линейная комбинация, множества

Проективная размерность подпространств и проективная геометрия PG(KV )

Если $\dim {}_K V=n$ , $U\in L({}_K V)$ - линейное подпространство в _K V, то определим проективную размерность

$\pdim U=\dim {}_K U-1.$

Таким образом, нулевое подпространство в _K V имеет проективную размерность, равную -1 ; одномерные линейные подпространства имеют нулевую проективную размерность (их называют точками проективной геометрии); двумерные линейные подпространства имеют проективную размерность, равную 1 (их называют прямыми проективной геометрии); и т. д., $\pdim V = n-1$ . Обозначая через G_i совокупность всех (i+1) -мерных линейных подпространств в _K V, получаем (n-1) -мерную проективную геометрию PG(_K V)={G₀,G₁,...,G_n-1}, где G₀ - множество точек, G₁ - множество прямых, G₂ - плоскостей, G_i - множество i -мерных плоскостей, с отношением инцидентности $U\prec W$ для $U\in G_i$ , $W\in G_j$ , где $0 \leq i \leq j \leq n-1$ , означающим, что $U\subseteq W$ .

Теорема о ранге матрицы

Пусть $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$ - прямоугольная $(m\times n)$ -матрица с элементами a_{ij} из поля K. Определитель $M_{i_1,...,i_k;j_1,...,j_k}$ квадратной $(k\times k)$ -матрицы, состоящей из элементов на пересечении k строк с номерами i₁,...,i_k и k столбцов с номерами j₁,...,j_k, называется минором k -го порядка матрицы A. Наивысший порядок ненулевого минора матрицы A обозначим через r(A) .

Теорема 9.16.1 (о ранге матрицы). Следующие четыре числовые характеристики матрицы $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$ совпадают:

r(A₁,...,A_m) (ранг системы строк, в Kⁿ );
$r(\hat A_1,...,\hat A_n)$ (ранг системы столбцов, в $\hat K^n$ );
r(A) (наивысший порядок ненулевого минора);
число ненулевых строк r в ступенчатом виде A матрицы A.

(Это совпадающее число называется рангом матрицы A } и будет обозначаться через r(A) ).

Доказательство разобьем на четыре леммы.

Лемма 9.16.2. Пусть матрица $\tilde A$ получена из матрицы A элементарным преобразованием строк (столбцов) 1-го или 2-го типа, тогда $r(A)=r(\tilde A)$ . Если A - ступенчатая форма, к которой приводится матрица A, то r(A)=r(A).

Доказательство проведем для преобразований строк (для столбцов все аналогично).

Случай 1. A'_i=A_i+cA_j, $c\in K$ , $i\neq j$ . Для k>r(A) рассмотрим минор $\tilde M=\tilde M_{i_1,...,i_k;j_1,...,j_k}$ в $\tilde A$ .

а) Если $i\notin \{i_1,...,i_k\}$ , то $\tilde M=M_{i_1,...,i_k;j_1,...,j_k}=0$ .

б) Если $i,j\in \{i_1,...,i_k\}$ , то $\tilde M=M_{i_1,...,i_k;j_1,...,j_k}=0$ .

в) Если $i\in\{i_1,...,i_k\}\not\ni j$ , то разложим определитель $\tilde M$ по i -й строке A'_i=A_i+cA_j в сумму двух определителей: $\tilde M=M+c\tilde\Delta=0$ , так как $M=M_{i_1,...,i_k;j_1,...,j_k}=0$ , поскольку k>r(A) , определитель $\tilde\Delta$ в качестве i -й строчки имеет часть строки A_j, но $j\notin\{i_1,...,i_k\}$ , и поэтому $\tilde\Delta$ отличается от минора матрицы порядка k перестановкой двух строк, и поэтому $\tilde\Delta=0$ . Итак, $r(\tilde A) \leq r(A)$ . Поскольку от A к $\tilde A$ можно вернуться элементарным преобразованием строк, то $r(A) \leq r(\tilde A)$ .

Случай 2. $A_i\leftrightarrow A_j$ разбирается аналогично ( $i,j\in\{i_1,...,i_k\}$ ; $i,j\notin\{i_1,...,i_k\}$ ; $i\in\{i_1,...,i_k\}\not\ni j$ ).

Лемма 9.16.3 (о сохранении линейных соотношений между столбцами при элементарных преобразованиях строк). Пусть от матрицы A к матрице A' мы перешли элементарными преобразованиями строк, тогда столбцы матриц A и A' имеют одни и те же линейные соотношения, а именно, $k_1\hat A_1+...+k_n\hatA_n=0$ тогда и только тогда, когда $k_1\hat A'_1+...+k_n\hat A'_n=0$ .

Доказательство. Ясно, что элементарные преобразования 1-го и 2-го типа для строк сохраняют линейное соотношение для столбцов и эти преобразования обратимы.

Следствие 9.16.4. Система столбцов $\hat A_{j_1},...,\hat A_{j_r}$ матрицы A линейно зависима (соответственно, линейно независима или является максимальной линейно независимой подсистемой в $\hat A_1,...,\hat A_n\in \hat K^m$ ) тогда и только тогда, когда соответствующая система столбцов (с теми же номерами) $\hat A'_{j_1},...,\hat A'_{j_r}$ матрицы A' линейно зависима (соответственно линейно независима или является максимальной линейно независимой подсистемой в $\hat A'_1,...,\hat A'_n\in \hat K^m$ ).

Следствие 9.16.5. $r\{\hat A_1,...,\hat A_n\}=r\{\hat A'_1,...,\hat A'_n\}$ .

Лемма 9.16.6. Если A - ступенчатая матрица, то наивысший порядок ненулевого минора r(A) совпадает с числом r ненулевых строк.

Доказательство.

Минор r -го порядка на пересечении r ненулевых строк и столбцов, проходящих через уголки ступенек, является определителем треугольной матрицы с ненулевыми элементами на главной диагонали, и поэтому отличен от нуля.
Все миноры, порядок которых больше r, нулевые, так как имеют нулевую строку.

Лемма 9.16.7. В ступенчатой матрице A ранг системы столбцов совпадает с числом r ненулевых строк (а именно, столбцы, проходящие через уголки ступенек, образуют максимальную линейно независимую подсистему столбцов).

Доказательство.

Указанные столбцы линейно независимы, так как проходят через $(r\times r)$ -матрицу с ненулевым определителем.
Любой столбец ступенчатой матрицы является линейной комбинацией указанных.

Следствие 9.16.8 (алгоритм нахождения максимальной линейно независимой подсистемы в системе столбцов прямоугольной матрицы). От матрицы A перейдем к ступенчатой матрице A с помощью элементарных преобразований строк 1-го и 2-го типов, запомним номера столбцов j₁,...,j_r, проходящих через уголки ступенек в A, в матрице A возьмем столбцы с этими номерами $\hat A_{j_1},...,\hat A_{j_r}$ .

Пример 9.16.9. Найти какую-либо максимальную линейно независимую подсистему строк в системе $a_1,a_2,a_3,a_4\in R^4$ ,

$\begin{gathe} a_1=(-1,4,-3,-2),\quad a_2=(3,-7,5,3), \\ a_3=(3,-2,1,0),\quad a_4=(-4,1,0,1), \end{gathe}$

а остальные строки выразить как линейные комбинации строк этой подсистемы.

Решение Записываем строки a₁, a₂, a₃, a₄ как столбцы и приводим полученную матрицу к главному ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк:

$\begin{multline*} \begin{pmatrix} -1 & \phm 3 & \phm 3 & -4\\ \phm 4 & -7 & -2 & \phm 1\\ -3 & \phm 5 & \phm 1 & \phm 0\\ -2 & \phm 3 & \phm 0 & \phm 1 \end{pmatrix}\to{} \begin{pmatrix} -1 & \phm 3 & \phm 3 & -4\\ \phm 0 & \phm 5 & \phm 10 & -15\\ \phm 0 & -4 & -8 & \phm 12\\ \phm 0 & -3 & -6 & \phm 9 \end{pmatrix}\to{} \\ {}\to \left( \begin{array}{cccc} \multicolumn{1}{|c}{-1} & 3 & 3 & -4\\ \cline{1-1} \phm 0 & \multicolumn{1}{|c}{1} & 2 & -3\\ \cline{2-4} \phm 0 & 0 & 0 & \phm 0\\ \phm 0 & 0 & 0 & \phm 0 \end{array}\right) \to \left( \begin{array}{cccc} \multicolumn{1}{|c}{1} & 0 & 3 & -5\\ \cline{1-1} 0 & \multicolumn{1}{|c}{1} & 2 & -3\\ \cline{2-4} 0 & 0 & 0 & \phm 0\\ 0 & 0 & 0 & \phm 0 \end{array}\right). \end{multline*}$

Записываем номера столбцов в ступенчатом виде, проходящие через уголки ступенек: 1, 2. Поэтому {a₁,a₂} - максимальная линейно независимая подсистема, a₃=3a₁+2a₂, a₄=-5a₁-3a₂ ; ранг системы строк a₁, a₂, a₃, a₄ равен 2.

Завершение доказательства теоремы о ранге:

$\begin{align*} & \mr(\hat A_1,\ldots,\hat A_n) \stackrel{\text{лемма~9.16.3}}{=} \mr(\Hat{\Bar A}_1,\ldots,\Hat{\Bar A}_n) \text{ (ранг столбцов}\\ & \quad {} \text{ступенчатой матрицы $\bar A$)} \stackrel{\text{лемма~9.16.7}}{=} r \stackrel{\text{лемма~9.16.6}}{=}{} \\ & \quad {}= \mr(\bar A) \stackrel{\text{лемма~9.16.2}}{=}{} \mr(A) = \mr(A^*) \stackrel{\text{лемма~9.16.3}}{=} \mr(A_1,\ldots,A_m). \end{align*}$

Теорема 9.16.10. Пусть $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$ , $B=(b_{ij})\in M_{n,r}(K)$ . Тогда

$r(AB) \leq r(A),\quad r(AB) \leq r(B).$

Доказательство. Пусть C=(c_ij)=AB. Тогда

$\begin{align*} c_{ij} &= a_{i1}b_{1j}+...+a_{in}b_{nj},\\ C_i &= a_{i1}B_1+...+a_{in}B_n,\\ \hat C_j &= \hat A_1b_{1j}+...+\hat A_n b_{nj}, \end{align*}$

т. е. строки матрицы C линейно выражаются через строки матрицы B, столбцы матрицы C линейно выражаются через столбцы матрицы A. Поэтому $r(C) \leq r(B)$ и $r(C) \leq r(A)$ .

Следствие 9.16.11. При умножении на квадратную матрицу A с $|A|\neq 0$ ранг не меняется.

Доказательство. Так как

$|A|\neq 0$

, то существует обратная матрица A^-1. Поэтому (BA)A^-1=B=A^-1(AB), и следовательно,

$r(B) \leq r(BA),\quad r(B) \leq r(AB).$

Ранее мы доказали, что

$r(B) \geq r(BA),\quad r(B) \geq r(AB).$

Поэтому

$r(B)=r(BA),\quad r(B)=r(AB).$

Задачи 9.16.12.

В условиях теоремы:
$r(A)+r(B)-n \leq r(AB).$
Если $A,B,C\in M_{n}(K)$ и ABC=0, то
$r(A)+r(B)+r(C) \leq 2n.$
Пусть $A\in M_{m,n}(K)$ , $B\in M_{n,m}(K)$ и m>n. Покажите, что $\det (AB)=0$ .
Доказательство. Так как $AB\in M_{m}(K)$ , то
$r(AB) \pleq r(B) \pleq n<m.$
Если $A^2=A\in M_{n}(K)$ , то
Если $A,B\in M_{n}(K)$ и A²=A, AB=0=BA, то
Если $A,B\in M_{n}(K)$ , AB=BA, и , то
Если $A_1,...,A_k\in M_{n}(K)$ , $k \geq 2$ , то
$r(A_1... A_k) \geq r(A_1)+...+r(A_k)-n(k-1).$

Теорема 9.16.13 (о факториальном ранге). Пусть $m,n\in N$ , $A\in M_{m,n}(K)$ . Ранг матрицы r(A) равен наименьшему числу k такому, что

$A=B\cdot C,\ \ \text{где}\ \ B\in M_{m,k}(K),\ \ C\in M_{k,n}(K)$

(это число k называется факториальным рангом матрицы A ).

Доказательство. Допустим, что $A=B\cdot C$ , где $B\in M_{m,n}(K)$ , $C\in M_{k,n}(K)$ . Тогда система столбцов матрицы A линейно выражается через систему столбцов матрицы B (их k штук). Поэтому $r(A) \leq k$ .

Пусть k=r(A). Выберем строки $A_{i_1},...,A_{i_k}$ , образующие максимальную линейно независимую подсистему строк A₁,...,A_m матрицы A,

$A_i=\beta_{i1}A_{i_1}+...+\beta_{ik}A_{i_k},\quad \beta_{ij}\in K,\ \ 1 \leq i \leq m.$

Рассмотрим матрицы $B\in M_{m,k}(K)$ , $B=(\beta_{ij})$ , и $C\in M_{k,n}(K)$ , для которой j -я строка $C_j=A_{i_j}$ , j=1,...,k. Тогда $A=B\cdot C$ .

Теорема 9.16.14 (теорема Кронекера—Капелли: критерий совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц). Пусть $(a_{ij}\mid b_i)$ - система m линейных уравнений с n неизвестными, $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$ - матрица коэффициентов,

$A'= \left( \begin{array}{c|c} & b_1\\ A & \vdots\\ & b_m \end{array} \right)\text{ -}$

расширенная матрица системы линейных уравнений.

а) Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов A равен рангу расширенной матрицы $A'=(A,\hat b)$ , r(A)=r(A').

б) Система линейных уравнений определенная тогда и только тогда, когда r(A)=r(A')=n.

Доказательство.

Используя определение ранга матрицы с помощью столбцов, видим, что всегда $r(A) \leq r(A')$ .
Если (k₁,...,k_n) - решение, то
$k_1\hat A_1+...+k_n\hat A_n= \begin{pmatrix} b_1\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix},$
т. е. столбцы матрицы A' линейно выражаются через столбцы матрицы A, следовательно, $r(A') \leq r(A)$ , и поэтому r(A')=r(A).
Пусть r(A')=r(A)=r. Тогда максимальная линейно независимая система столбцов матрицы A содержит r столбцов, и поэтому она является и максимальной линейно независимой системой столбцов матрицы A'. Таким образом, столбец
$\begin{pmatrix} b_1\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix}$
линейно выражается через эту систему столбцов матрицы A, а поэтому и через все столбцы матрицы A,
$k_1\hat A_1+...+k_n\hat A_n= \begin{pmatrix} b_1\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix}.$
Итак, существует решение (k₁,...,k_n) системы линейных уравнений.

Второе доказательство. Элементарными преобразованиями приведем систему линейных уравнений к ступенчатому виду (ранги матриц не меняются при этом). Совпадение рангов означает отсутствие "экзотических" уравнений в ступенчатом виде, т. е. совместность системы линейных уравнений.
Доказательство критерия определенности в терминах рангов). Если система определена, т. е. r(A)=r(A'), то она определена тогда и только тогда, когда в ступенчатом виде нет свободных неизвестных, т. е. r(A)=r(A')=n.