Высказывания и предикаты

Задачи

1. Определить множество истинности предиката р(х)="число х кратно 4", x∈[1;10]. Нарисовать множества истинности и ложности этого предиката. Указание: условие кратности означает, что нужно рассматривать только натуральные числа из этого промежутка, поэтому область определения предиката – X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
2. Определить множество истинности предиката p(x,y)= "число х равно числу y", x, y∈[3;6]. Нарисовать множества истинности и ложности этого предиката. Указание: множество состоит из пар чисел; условие кратности означает, что нужно рассматривать только натуральные числа из этого промежутка, т.е. x, y=3, 4, 5, 6.
3. Запишите предикат (условие, которое может быть и сложным), полностью описывающий область, строго заключенную между окружностями с центром в начале координат и радиусами 3 и 5 соответственно. Указание: сделать вначале рисунок.
4. Составить таблицу истинности функции . Упростить эту функцию и построить таблицу истинности для полученной после упрощения функции. Указание: "шапка" таблицы содержит выражения (столбцы) x, y, x∨y, x∧y, , , , z.
5. Дано выражение: . Упростить эту функцию и построить таблицу истинности для полученной после упрощения функции. Указание: использовать аксиому де Моргана два раза.
6. Дано выражение: . Упростить эту функцию и построить таблицу истинности для полученной после упрощения функции. Указание: в первой из перемножаемых скобок слагаемые равны.
7. Подобрать две функции, эквивалентные данной функции, но с меньшим числом операций и операндов: . Указание: под внутренним знаком отрицания применить аксиому поглощения.
8. Из указанных ниже функций отметить (с обоснованием) эквивалентные между собой функции:
   • ;
   • 
   • .
   Указание: упростить и сравнить.
9. Из указанных ниже функций отметьте (с обоснованием) эквивалентные между собой функции:
   • ;
   • ;
   • ;
   • ;
   • .
   Указание: упростить и сравнить.
10. Построить таблицы истинности для всех функций предыдущей задачи. Указание: построить таблицы для исходных выражений, определив "шапки" каждой таблицы.

Темы научных исследований и рефератов (Интернет-листов)

1. История развития алгебры высказываний и предикатов.
2. Джордж Буль и его алгебра.
3. Примеры алгебр Буля.
4. Алгебра множеств (Кантора) – как алгебра Буля.
5. Алгебра отношений (реляционная алгебра), его значение и приложения.
6. Алгебра логики – как теории доказательств и рассуждений.
7. Развитие логических систем (учений) от Аристотеля.
8. Тавтологии, силлогизмы и парадоксы.
9. Эквивалентность логических функций.
10. Логика и ее использование при доказательстве прямых, обратных и противоположных утверждений.