НОУ ИНТУИТ | Введение в математику. Лекция 13: Элементы дискретного математического анализа

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 18.04.2007 | Уровень: для всех | Доступ: свободно | ВУЗ: Кабардино-Балкарский государственный университет

|

Вам нравится? Нравится 124 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Геометрически интерполяция состоит в нахождении по точкам M_i(x_i;y_i), i=1, 2,..., n на графике y=f(x), некоторой плавной кривой y=F(x), проходящей через эти точки и мало отклоняющейся от графика y=f(x) в других точках.

Таких функций может быть много - задача интерполяции не имеет единственного решения. Обычно стараются выбрать наиболее простую по форме и наиболее точную интерполянту, например, многочлен вида F(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2+...+a₀. Покажем на примере, как находить интерполянту.

Пример. Пусть дана дискретная функция

x	y
0	1
1	-2
2	3

Подберем для этой функции интерполянту - многочлен 2-го порядка: F(x)=ax²+bx+c. Подставив значения в трех точках x=0, x=1, x=2 поочередно в функцию F(x), получаем систему из уравнений вида: F(0)=c=1, F(1)=a+b+c=-2, F(2)=4a+2b+c=3. Решая, мы найдем неизвестные коэффициенты интерполянты: a=4, b=-7, c=1, то есть найдем интерполянту F(x)=4x²-7x+1.

Рассмотрим задачу аппроксимации: задана табличная функция

x_i	x₁	x₂	x₃	...	x_n
y_i	y₁	y₂	y₃	...	y_n

Найти функцию z=f(x), легко вычисляемую и легко записываемую, которая приближенно заменяет (аппроксимирует) данную табличную функцию, причем в отличие от задачи интерполяции мы уже не требуем тут непосредственного совпадения с заданной табличной функцией в заданных точках. Достаточно лишь малого отклонения от них в этих точках, как и в любых других точках области задания функции.

Найденная при этом функция y=f(x) называется эмпирической функцией (или формулой), или аппроксимирующей функцией, математической моделью.

Мы рассмотрим нахождение эмпирической функции в виде многочлена P_n(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x+a₀.

Исследуемая величина y может зависеть также и от нескольких независимых факторов - x₁, x₂,..., x_n: y=y(x₁, x₂,..., x_n). Будем предполагать, что между x и y есть однозначное соответствие, которое и будем искать.

Пусть формула содержит неизвестные параметры функциональной зависимости, т.е. y=f(x, a₀, a₁,..., a_m). Конкретные числовые значения этих параметров, соответствующие данному набору y₁, y₂,..., y_n, выбирают из условия наилучшего, в каком-то смысле, согласования теоретических y(x_i) и экспериментальных y_i данных (i=1, 2,..., n). Наиболее широко применяемый критерий близости - критерий метода наименьших квадратов. Рассмотрим его на примере наиболее часто выбираемой в качестве эмпирической функции - многочлена y=P_m(x)=a₀+a₁x+...+ a_mx^m. Необходимо найти неизвестные параметры a_i, i=1, 2,...,n. Если бы измерения были точны, то для определения m+1 неизвестных a₀, a₁,..., a_m достаточно было бы сделать m+1 измерение - в точках x₁, x₂,..., x_m+1, затем подставить в формулу и получить систему m+1 линейных алгебраических уравнений вида: $y_i=a_0+a_1x_i+a_2x_i+...+a_mx_i ,\quad i=1, 2,..., m+1$ , которую можно решить, например, методом Гаусса. На практике же значения y_i , i=1,...,n искажены (допускаемыми приборами и методикой измерения), то есть на самом деле $y(x_i)=y_i+\delta _i$ , i=1,2,..., n, где $\delta _i$ - ошибки измерений. Из этих равенств получаем

$\left. \begin{matrix} & f(x_1, a_0, a_1, \dotsc, a_m) - y_1 =\delta _1 \hfill\null\\ & \hdotsfor{1} \\ & f(x_n, a_0, a_1, \dotsc, a_m) - y_n =\delta _n \hfill\null \end{matrix} \right \}.$

Предполагаем, что $n\ge m+1$ . Величины $\delta _i$ называются невязками . Числа a₀, a₁,..., a_m определяют из условия минимума суммы квадратов невязок:

$\min_A \sum^n_{i=1} \{ f(x_i,a_0,a_1, \dotsc, a_m) -y_i\}^2,$

где A - множество всех допустимых значений параметров a₀, a₁,..., a_m.

Сумму можно рассматривать как функцию от m+1 параметра (параметров):

$\Phi(a_0,a_1, \dotsc, a_m) = \sum^n_{i=1} \{f(x_i, a_0,a_1, \dotsc, a_m) -y_i\}^2.$

Из условия минимума этой суммы получаем систему так называемых нормальных уравнений (или нормальную систему уравнений):

$\frac{\partial\Phi}{\partial a_0} =0, \quad \frac{\partial\Phi}{\partial a_1} =0, \quad \dotsc, \quad \frac{\partial\Phi}{\partial a_m} =0.$

В случае полинома получаем функционал вида

$\Phi = \sum^n_{i=1} \{a_0 + a_1x_1 + a_2x_i^2 + \dotsc + a_mx_i^m - y_i\}^2$

и систему уравнений (нормальную систему):

$\left. \begin{matrix} & \pd {\Phi}{a_0} = 2\sum^n_{i=1} (a_0 +a_1x_1 + \dotsc + a_mx_i^m) =0, \hfill\null\\ & \pd {\Phi}{a_1} = 2\sum^n_{i=1} (a_0 +a_1x_1 + \dotsc + a_mx_i^m)x_i =0, \hfill\null\\ & \hdotsfor{1} \\ & \pd {\Phi}{a_m} = 2\sum^n_{i=1} (a_0 +a_1x_1 + \dotsc + a_mx_i^m)x_i^m =0. \hfill\null\\ \end{matrix} \right \}$

Эту систему алгебраических линейных уравнений можно решить, например, методом Гаусса и найти неизвестные параметры a₀, a₁,..., a_m эмпирической формулы - многочлена.

Пример. Рассмотрим функцию, заданную нижеследующей таблицей.

x	1	1,5	1,7	1,8	2	3
y	200	300	400	500	800	1100

Будем искать линейную зависимость y=a₀x+a₁. Этот вид зависимости мы выбрали только по критерию наибольшей простоты, хотя по изменениям значений функции видно, что такая зависимость хорошо "работает" только при x=1,5 ; 1,7 ; 1,8 и совсем "плоха" для последних двух значений. Находим нормальную систему:

$\begin{cases} & 22,38a_0 +11a_1 = 7130, \\ & 11a_0 + 6a_1 = 3300. \end{cases}$

Решим эту систему и находим: y=442,8x-261,8.

Рассмотрим теперь новый класс задач - численное вычисление определенных интегралов или численное интегрирование.

Пусть f(x) - непрерывная (а поэтому и интегрируемая) на отрезке [a;b] функция. Если F(x) есть первообразная для f(x) на интервале, содержащем отрезок [a;b], то задача интегрирования через элементарные функции для большинства функций разрешима. Если первообразная функция не выражается через элементарные функции ("интеграл не берется в квадратурах"), то нужно использовать численное интегрирование.

Задача численного интегрирования состоит в нахождении интеграла на отрезке [a;b] заменой подынтегральной функции f(x) на этом отрезке [a;b] другой, интерполирующей или аппроксимирующей функцией g(x) (например, многочленом).

Пусть функция f(x) считается заданной в n+1 равноотстоящих точках: a=x₀, x₁, x₂,..., x_n-1, x_n=b. Соответствующие значения равны: f(x_i)=y_i, i=0,1, 2,... n, h=x_i-x_i-1. Формула носит название формулы трапеции, так как при f(x)>0 приближенное значение интеграла слева получается в виде суммы площадей n трапеций:

$\int_{a}^{b} f(x)\,dx=h\Bigl(\frac{y_0+y_n}{2}+y_1+y_2+\dotsc+y_{n-1}\Bigr).$

Пример. Вычислить интеграл от 0 до 1 от функции вида y=x²+sin (x/4). Используем точки x_i=0,i, i=0, 1,..., 10. Найдем значения функции (таблица).

i	x_i	x_i/4	x₂+sin(x_i/4)
0	0,00	0,000	0,00000
1	0,10	0,025	0,01044
2	0,20	0,050	0,04873
3	0,30	0,075	0,09131
4	0,40	0,100	0,16175
5	0,50	0,125	0,26218
6	0,60	0,150	0,36262
7	0,70	0,175	0,49305
8	0,80	0,200	0,64349
9	0,90	0,225	0.81393
10	1,00	0,250	1.00436