ТвГУ: ТиПЛ 1 курс (личная):

Введение в математику
[+]
Опубликован: 18.04.2007 | Уровень: для всех | Доступ: свободно | ВУЗ: Кабардино-Балкарский государственный университет
Лекция 3:

Координаты и векторы
A
|
версия для печати
< Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >

Введенные операции над векторами удовлетворяют следующим основным аксиомам:

  1. a+b=b+a (переместительный закон сложения векторов);
  2. a+(b+c)=(a+b)+c (сочетательный закон сложения);
  3. a+0=a (закон существования нулевого вектора);
  4. a+(-1)a=0 (закон существования противоположного вектора);
  5. (\alpha \beta)\vec a =\alpha (\beta \vec a), \alpha ,\beta - скаляры, числа (сочетательный закон умножения скаляра на вектор);
  6. (\alpha +\beta) \vec a=\alpha \vec a+\beta \vec a (дистрибутивный закон умножения векторов на скаляр);
  7. \alpha (\vec a+\vec b)=\alpha \vec a+\alpha \vec b (дистрибутивный закон сложения векторов);
  8. 1\cdot \vec a=\vec a (закон умножения на скалярную единицу).

Скалярным произведением двух ненулевых векторов a, b называется число (скалярное значение), равное произведению длин этих векторов на косинус угла \varphi между ними: \vec a\cdot \vec b = |\vec a|\cdot |\vec b|\cdot \cos\varphi .

Свойства скалярного произведения:

  1. (a,b)=(b,a) ;
  2. (\lambda \vec a, \vec b)=\lambda (\vec a,\vec b) ;
  3. (a,a)=|a|2 ;
  4. (a,b+c)=(a,b)+(a,c).

Если углы вектора a с осями координат в пространстве xyz обозначить как \alpha =\widehat{(\vec i,\vec a)}, \beta =\widehat{(\vec j,\vec a)}, \gamma=\widehat{(\vec k,\vec a)}, то эти углы можно определить по координатам вектора формулами

\cos\alpha =\frac {x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}, \quad \cos\beta =\frac {y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}, \quad \cos\gamma =\frac {z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}.

Косинусы углов \alpha, \beta, \gamma называются направляющими косинусами .

Через координаты вектора можно выражать и результаты операции над векторами. Запишем операции над векторами, заданными в координатной форме.

Пусть a={x1, y1, z1}, b={x2, y2, z2}.

Справедливы следующие свойства:

  1. a=b \iff x1=x2, y1=y2, z1=z2 ;
  2. \lambda \vec a=\{\lambda x_1, \lambda y_1, \lambda z_1\} ;
  3. \vec a\pm \vec b=\{x _1\pm x_2, y_1\pm y_2, z_1\pm z_2\} ;
  4. (i,i)=(j,j) = (k,k)=1 ; (i,j)=(i,k)=(j,k)=0 ;
  5. (a,b)= x1x2 +y1y2 + z1z2 ;
  6. |\vec a|=\sqrt{(\vec a,\vec a)}=\sqrt{x_1^2+y^2_1+z^2_1} ;
  7. условие ортогональности векторов a, b: x1x2+y1y2+z1z2=0 ;
  8. условие коллинеарности векторов a, b: x_2=\lambda x_1, y_2=\lambda y_1, z_2=\lambda z_1, или \frac {x_2}{x_1} =\frac {y_2}{y_1}=\frac {z_2}{z_1} ;
  9. угол между векторами
    \cos(\widehat{\vec a,\vec b}) = \frac {(\vec a,\vec b)} {|\vec a|\cdot |\vec b|}= \frac {x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2} {\sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1} \sqrt{x^2_2+y^2_2+z^2_2} }.

Выше мы определили один из методов перемножения векторов (скалярное произведение), которое давало нам в качестве результата число (скаляр). Можно ввести операцию умножения и так, чтобы в результате опять получать вектор.

Векторное произведение - вектор, который:

  1. перпендикулярен плоскости перемножаемых векторов;
  2. имеет длину, равную площади параллелограмма, построенного на этих векторах;
  3. имеет такое направление, что если смотреть с конца вектора произведения, то движение от первого из перемножаемых векторов ко второму вектору должно происходить против часовой стрелки.

Рассмотрим алгебраические векторы, не связанные с их возможными геометрическими интерпретациями на плоскости или в пространстве, то есть n -мерные векторы или векторы, имеющие n координат, компонент. Для различения геометрических и алгебраических векторов мы у алгебраических векторов не будем изображать стрелку над именем вектора.

Пусть даны два n -мерных вектора x=(x1,...,xn), y=(y1,...,yn).

Сумма векторов x, y определяется как вектор x+y=(x1+y1,x2+y2,...,xn+yn).

Разность векторов определяется как вектор x-y=(x1-y1, x2-y2,..., xn-yn).

Произведение скаляра \lambda=\const на вектор x=(x1,x2,...,xn) определяется как вектор \lambda x=(\lambda x_1,\lambda x_2,\dotsc,\lambda x_n).

Противоположный вектор для x определяется как вектор -x=(-x1,-x2, ...,-xn).

Скалярное произведение векторов x, y определяется как число (x,y)=x1y1+x2y2+...+xnyn.

Длина вектора x=(x1,x2,...,xn) - число, равное |x|= \sqrt{(x,x)} = \sqrt{x_1^2+x^2_2+\dotsc+x^2_n}, угол между двумя векторами x и y определяется как

\cos\varphi = \frac {(\vec a,\vec b)} {|\vec a|\cdot |\vec b|}= \frac {x_1y_1+x_2y_2+\dotsc+x_ny_n} {\sqrt{x^2_1+x^2_2+\dotsc+x^2_n} \sqrt{y^2_1+y^2_2+\dotsc+y^2_n}}

Эти операции над векторами удовлетворяют всем введенным выше законам и свойствам для операции с геометрическими векторами.

Дальше >>
< Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >

Вопросы и ответы

вопросов: 7
Оксана Лебедева
Оксана Лебедева

Можно ли, используя функцию Дирихле, построить модель пространства, в котором нет иррациональных чисел, а есть только рациональные числа? Очевидно, нельзя построить плоскость, не используя при этом иррациональные числа, так как плоскость непрерывна. Но пространство обладает бо-льшим числом измерений и может сохранить непрерывность в каком-либо одном из них.

ответить
Марат Марат
Марат Марат

в лекции ​8 на второй странице в конце, вторая производная у меня получается 4/x3 ....

ответить

Студенты

всего: 6
Александр Колесник
Александр Колесник
Россия, Редкино, МБОУ №3, 2013
предложить дружбу
Татьяна Талалуева
Татьяна Талалуева
Россия, г. Зеленоград
предложить дружбу