Единственность главного ступенчатого вида матрицы

Изоморфизм линейных пространств

Пусть _K U, _K V - линейные пространства над полем K. Биективное отображение

Упражнение 9.6.1. Отношение является отношением эквивалентности.

Лемма 9.6.2. Если - изоморфизм линейных пространств, , {e₁,...,e_n} - базис в _K U, то {f(e₁),...,f(e_n)} - базис в _K V, и поэтому .

Доказательство.

1. 1) Если , то f(u)=v для некоторого . Пусть u=k₁e₁+...+k_ne_n, где . Тогда v=f(u)=k₁f(e₁)+...+k_nf(e_n).
2. Пусть k_1f(e₁)+...+k_nf(e_n)=0 для . Тогда 0=k₁f(e₁)+...+k_nf(e_n)=f(k₁e₁+...+k_ne_n), и поэтому k₁e1₁+...+k_ne_n=0, следовательно, k₁=k₂=...=k_n=0.

   Итак, в силу 1) и 2), {f(e₁),...,f(e_n)} - базис линейного пространства _KV.

Лемма 9.6.3. Если и {e₁,...,e_n} - базис линейного пространства _K V, то, сопоставляя каждому элементу однозначно определенную строчку его координат (k₁,...,k_n) в базисе {e₁,...,e_n}, получаем изоморфизм линейных пространств , таким образом, каждое n -мерное линейное пространство _K V над полем K изоморфно линейному пространству строк Kⁿ.

Доказательство. Соответствие

Теорема 9.6.4. Конечномерные линейные пространства _K U и _K V изоморфны тогда и только тогда, когда , и в этом случае .

Доказательство теоремы следует из лемм 9.6.2 и 9.6.3.

Упражнение 9.6.5. Покажите, что следующие линейные пространства являются бесконечномерными линейными пространствами (это означает, что в них нет базиса из конечного числа элементов):

1. _R C[0,1] - линейное пространство вещественных непрерывных функций на отрезке [0,1] ;
2. _K K[x] - линейное пространство многочленов от переменной x с коэффициентами из поля K ;
3. _K K^N - линейное пространство всех счетных последовательностей (k₁,k₂,...,k_n,...) элементов из поля K.

Упражнение 9.6.6. Докажите, что

а) ;

б) ;

в) .