Опубликован: 27.12.2010 | Доступ: свободный | Студентов: 1030 / 278 | Оценка: 5.00 / 5.00 | Длительность: 18:38:00
ISBN: 978-5-9556-0117-5
Специальности: Математик
Лекция 1:

Первое знакомство с пакетом Mathematica

Лекция 1: 123456789 || Лекция 2 >

(4.1) Вычислить кривизну следующих кривых: б) y = a ch(x/a).

Решение 1. В качестве параметра выберем x, тогда

\tt
In[225]:=$\gamma$[x\_] := \{x, a Cosh$\left[\frac{x}{a}\right]$\};

Найдем натуральный параметр:


\text{In[226]:=}f[x\_]=\int \sqrt{\gamma '[x]. \gamma '[x]} dx}\\ \\
\text{Out[226]=}a \sqrt{Cosh\left[\frac xa\right]^2} Tanh\left[\frac xa\right]\\ \\
\text{In[227]:=}f[x\_]=\text{Simplify}\left[\int \sqrt{\gamma '[x].\gamma '[x]}   dx\right]\\ \\
\text{Out[227]=}a\sqrt{Cosh\left[\frac xa\right]^2} Tanh\left[\frac xa\right]

В качестве второго параметра команды

\tt Simplify
можно указать предположения, которые помогут упростить выражение:


\text{In[228]:=}f[x\_]=\text{Simplify}\left[\int\sqrt{\gamma '[x]. \gamma '[x]} dx, \text{ Cosh}\left[\frac xa\right] \ge 0\right] \\ \\
\text{Out[228]=}a Sinh\left[\frac xa\right]

Выразим x через натуральный параметр s:

\tt
In[229]:=g[s\_]=InverseFunction[f][s] \\ \\
Out[229]=$f^{(-1)} [s]$

Заменим параметр на натуральный:


\text{In[230]:=}\gamma 1[s\_]=\gamma [x] /. x \to g[s] \\ \\
\text{Out[230]=}\left\{f^{(-1)}[s], a Cosh\left[\frac{f^{(-1)}[s]}{a}\right]\right\} \\ \\
\text{In[231]:=}k[s\_]=\sqrt{\gamma 1''[s].\gamma 1''[s]} \text{// Simplify} \\ \\
\text{Out[231]=}\sqrt{\frac{Sech\left[\frac{f^{-1}[s]}{a}\right]^4}{a^2}}

Выразим x через натуральный параметр s (другой способ):

\tt
In[232]:=res=Solve[s == f[x], x] \\ \\ \\
\phantom{In[232]}Solve::ifun: \\
\phantom{In[232]:=}Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; \\
\phantom{In[232]:=res=S}Use Reduce for complete solution information.>> \\ \\
Out[232]=$\left\{\left\{x \to a ArcSinh\left[\frac sa\right]\right\}\right\}$ \\ \\
In[233]:= $\gamma$1[s\_]=$\gamma$[x] /. res[\![1]\!] \\ \\
Out[233]=$\{a ArcSinh[\frac sa], a \sqrt{1+\frac {s^2}{a^2}}\}$ \\ \\
In[234]:=k[s\_]=$\sqrt{\gamma 1''[s].\gamma 1''[s]$ \\ \\
Out[234]=$\sqrt{\frac{s^2}{a^4+\left(1+\frac{s^2}{a^2}\right)^3}+\left(-\frac{s^2}{a^3\left(1+\frac{s^2}{a^2}\right)^{\frac 32}}+\frac{1}{a \sqrt{1+\frac{s^2}{a^2}}}\right)^2}$ \\ \\
In[235]:= k[s\_]=Simplify$\left[\sqrt{\gamma 1''[s]. \gamma 1''[s]}\right]$ \\ \\
Out[235]=$\sqrt{\frac{a^2}{(a^2+s^2)^2}}$ \\ \\
In[236]:=k[s\_]=Simplify$\left[\sqrt{\gamma 1''[s]. \gamma1''[s]}, \left\{a>0, a^2+s^2>0\right\}\right]$ \\ \\
Out[236]=$\frac{a}{a^2+s^2}$

Решение 2. Вновь в качестве параметра выберем x и воспользуемся формулой кривизны произвольно параметризованной кривой. Имеем


\text{In[237]:=}\gamma[x\_]=\left\{x, a Cosh\left[\frac xa\right]\right\}; \\
\phantom{\text{In[237]:=}}k[x\_]=\frac{Abs[Det[\{\gamma '[x], \gamma ''[x]\}]]}{Norm[\gamma '[x]]^3} \\ \\
\text{Out[238]=}\frac{Abs\left[\frac{Cosh\left[\frac xa\right]}{a}\right]}{(1+Abs\left[Sinh\left[\frac xa\right]\right]^2\right)^{\frac 32}} \\ \\
\text{In[239]:=} \\
\phantom{In}k[x\_]=Simplify\left[Abs[Det[\{\gamma'[x], \gamma''[x]\}]]/Norm[\gamma'[x]]^3,\right.\\
\phantom{In[23}\left.\left\{Sinh\left[\frac xa\right] \ge 0, Cosh\left[\frac xa\right] \ge 0, a \ge 0\right\}\right]} \\ \\
\text{Out[239]=}\frac{Sech\left[\frac xa\right]^2}{a}

Проверим, что получился тот же результат:

\tt
In[240]:=k[x] /. res[\![1]\!] //Simplify} \\ \\
Out[240]=$\frac{a}{a^2+s^2}$ \\ \\
In[241]:=$\gamma[x]$ \\ \\
Out[241]=$\left\{x, a Cosh\left[\frac xa\right]\right\}
\tt
In[242]:= \\ \\ 
\phantom{In}Module[\{$\gamma$, k, a\}, \\ \\
\phantom{InM}$\gamma$[x\_] := $\left\{$x, a Cosh$\left.\left[\frac xa\right]\right\}$; k[x\_] := $\frac{\text{Sech}\left[\frac xa\right]^2}{a}$; \\
\phantom{InM}Manipulate[\{ \\
\phantom{InMMa}ParametricPlot[$\gamma$[x] /. a$\to$aa, \{ x, -1, 1\}, \\
\phantom{InMMaP}AspectRatio$\to$Automatic, Plotrange$\to$\{\{-1,1\}, \{-0.1,3.5\}\}, \\
\phantom{InMMap}ImageSize$\to$100], \\
\phantom{InMMa}Plot[k[x] /. a$\to$aa, \{x, -1, 1\}, AspectRatio$\to$Automatic, \\
\phantom{InMMap}PlotRange$\to$\{\{-1, 1\}, \{-0.1, 3.5\}\}, ImageSize$\to$100] \\
\phantom{InMM}\}, \\
\phantom{InMM}\{\{aa, 0.36\}, 0.3, 3\}] \\
\phantom{In}]

\tt
In[243]:= Clear[$\gamma$, a, $\gamma$1, f, g, res, k]
Лекция 1: 123456789 || Лекция 2 >