НОУ ИНТУИТ | Практикум по компьютерной геометрии. Лекция 1: Первое знакомство с пакетом Mathematica

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 27.12.2010 | Доступ: свободный | Студентов: 1031 / 279 | Оценка: 5.00 / 5.00 | Длительность: 18:38:00

ISBN: 978-5-9556-0117-5

Темы: Математика, САПР

Специальности: Математик

Теги: алгебра, анализ, вычисления, геометрия, программное обеспечение

|

Вам нравится? Нравится 14 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Замена фрагментов выражения expr по правилам rules (ReplaceAll): expr /. Rules

Значок $"\to"$ получается последовательным набором - и > или с использованием палетки $\text{BasicMathInput}$ .

$\tt In[126]:= \{Cos[x], x\^\,\!2 + z\^\,\!3, у, z} /. x $\to$ b\} \\ \\ \tt Out[126]= \{Cos[b], $b^2 + z^3, y, z$\} \\ \\ In[127]:= \{Cos[x], x\^\,\!2 + x\^\,\!3, у, z\} /. Cos $\to$ Sin \\ \\ \tt Out[127]= \{Sin[x], $x^2 + z^3, y, z$\} \\ \\ In[128]:= \{Cos[x], x\^\,\!2 + z\^\,\!3, y, z\} /. z $\to$ \{a, b\} \\ \\ \tt Out[l28]= \{Cos[x], $\{a^3+x^2, b^3+x^2\}, y, \{a, b\}$\} \\ \\ ln[129]:= \{Cos[x], х\^\,\!2 + z\^\,\!3, у, z\} /. \{x $\to$ a, у $\to$ b\} \\ \\ \tt Out[129]= \{Cos[a], $a^2 + z^3, b, z$\} \\ \\ In[130]:= \{Cos[x], х\^\,\!2 + z\^\,\!3, у, z\} /. \{\{x $\to$ a\} , \{y $\to$ b\}\} \\ \\ \tt Out[130]= \{\{Cos[a], $a^2 + z^3, y, z$\}, \{cos[x], $x^2 + z^3, b, z$\}\} \\ \\ In[131]:= \{Cos[x], x\^\,\!2 + z\^\,\!3, y, z\} /. \{x $\to$ a, a $\to$ b\} \\ \\ \tt 0ut[131]= \{Cos[a], $a^2 + z^3, y, z$\} \\ \\ In[132]:= \{Cos[x], x\^\,\!2 + z\^\,\!3, y, z\} /. x $\to$ a /. a $\to$ b \\ \\ \tt Out[132]= \{Cos[b], $b^2 + z^3, y, z$\}$

Значок $": \to"$ получается последовательным набором $\text{:}$ и $\text{>}$ или с использованием палетки $\text{BasicMathInput}$ . В отличие от $\text{lhs} $\to$ \text{rhs}$ , которое сначала вычисляет $\text{rhs}$ , а потом заменяет на результат вычислений все вхождения $\text{lhs}$ , правило $\text{lhs} $\to$ \text{rhs}$ вычисляет $\text{rhs}$ отдельно для каждого вхождения $\text{lhs}$ :

$\tt In[133]:={x, х, х} /. x $\to$ Random[] \\ \phantom{In[133]:=}{х, х, х} /. х :$\to$ Random[] \\ \\ Out[133]={0.209741, 0.209741, 0.209741} \\ \\ Out[134]={0.0161126, 0.191289, 0.729859}$

Равенства и неравенства

Значки , $\geq$ и $\leq$ получаются последовательным набором ==,>= и соответственно или с использованием палетки $\text{BasicMathInput}$ .

$\tt In[135]:=x == 2 \\ \phantom{In[135]:=}x > 3 \\ \phantom{In[135]:=}x $\geq$ 3 \\ \phantom{In[135]:=}(x $\geq$ 3 \&\& x $\leq$ 6)||(x == 8) \\ \\ Out[135]=x == 2 \\ \\ Out[136]=x > 3 \\ \\ Out[137]=x $\geq$ 3 \\ \\ Out[138]=[x $\geq$ 3 \&\& x $\leq$ 6) || x == 8$

Решение уравнений и неравенств

$\tt In[139]:= res=Solve[ax^2+bx+c= =0, x]}\\ \\ Out[139]=\{\{x \to \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\}, \{x \to \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\}\\ \\ In[140]:= x/.res[\![1]\!]}\\ \\ Out[140]=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \\ In[141]:= Solve[\{x^2-y-4= =0, y+3x= =2\}, \{x,y\}]}\\ \\ Out[141]=\{\{y \to \frac12 (13-3 \sqrt{33}), x \to \frac12 (-3+\sqrt{33})\},\\ \phantom{Out[141]=\{}\{y \to \frac12 (13+3 \sqrt{33}, x \to \frac12 (-3- \sqrt{33})\}\} \\ \\ In[142]:= Reduce[ax^2+bx+c==0,x]}\\ \\ Out[142]=\left( a \ne 0 \& \& \left( x==\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\|x==\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right) \right)\|\\ \phantom{Out[142]=\left(}(a==0 \& \& b \ne 0 \& \& x==-\fraccb)\|(c==0 \& \& b==0 \& \& a==0) \\ \\ In[143]:= Reduce[-1 \le x+y \le 1 \& \& x^2+y^2==2, \{x,y\}]}\\ \\ Out[143]=(\frac12 (-1-\sqrt3) \le x \le \frac12 (1- \sqrt3) \& \& y==\sqrt{2-x^2})\|\\ \phantom{Out[143]=(}(\frac12 (-1+\sqrt3) \le x \le \frac12 (1+\sqrt3) \&\& y==-\sqrt{2-x^2}) \\ \\ In[144]:= Clear[res]}\\$

Решение дифференциальных уравнений

$\tt In[145]:=res=DSolve[x''[t]-x'[t]==2, x[t],t] \\ \\ Out[145]=\{\{x[t] $\to$ -2t + $e^t$ C[1]+C[2]\}\} \\ \\ In[146]:=f[t\_]=x[t]/.res[[1]] /. \{C[1] $\to$ 1, C[2] $\to$ 0\} \\ \\ Out[146]=$e^t$ - 2t \\ \\ In[147]:=Plot[f[t], {t, -1,1}]$

$\tt In[148]:= Clear[f, res]$

Численное решение дифференциальных уравнений

Кроме самого уравнения, нужно задать начальные условия и область изменения переменной:

$\tt In[149]:=\\ \phantom{In}res=NDSolve[{x''[t]-Sin[x'[t]]==2, x[0]==1, x'[0]==2}, \\ \phantom{\phantom{In}re}x,\{t,0,1\}] \\ \\ Out[149]=\{\{x $\to$ InterpolatingFunction[\{\{0.,1.\}\}, <>]\}\} \\ \\ In[150]:=f=x /. res[\![1]\!] \\ \\ Out[150]=InterpolatingFunction[\{\{0.,1.\}\}, <>] \\ \\ In[151]:=f[0] \\ \phantom{In[151]:=}f'[0] \\ \\ Out[151]=1. \\ \\ Out[152]=2. \\ \\ In[153]:= Plot[f[s],{s,0,1}]$

$\tt n[154]:= Clear[res,f]$

Преобразование выражений, упрощение

$\tt In[155]:=$(x+y)^5$ \\ \\ Out[155]=$(x+y)^5$ \\ \\ In[156]:=$(x+y)^5$ //Expand \\ \\ Out[156]=$x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5$ \\ \\ In[157]:=$\frac1x + \frac{x-2}{x^2+3}$ \\ \\ Out[157]=$\frac1x +\frac{-2+x}{3+x^2}$ \\ \\ In[158]:=$\frac1x + \frac{x-2}{x^2+3}$ //Together \\ \\ Out[158]=$\frac{3-2x+2x^2}{x(3+x^2)}$ \\ \\ In[159]:=$8x^2-6x^2+x^4-2x^2y+x^3y-8y^3+6xy^3-x^2y^3+2y^4-xy^4$ // Factor \\ \\ Out[159]=$(-2+x)(-4+x+y)(x^2-y^3)$ \\ \\ In[160]:=Sin$[x]^2$+Cos$[x]^2$ \\ \\ Out[160]=Cos$[x]^2$+Sin$[x]^2$ \\ \\ In[161]:=Sin$[x]^2$+Cos$[x]^2$ //Simplify \\ \\ Out[161]=1$

Программирование

Булевы операции

$\text{\tt And[]}$ , или $\text{\tt \&\&}$ , или $\wedge$ (набрать $\text{\fbox{Esc} \&\& \fbox{Esc}}$ ),
$\text{\tt Or[]}$ , или $\|$ , или $\vee$ (набрать $\text{\fbox{Esc}\|\fbox{Esc}}$ ),
$\text{\tt Not[]}$ , или , или $\neg$ (набрать $\text{\fbox{Esc}!\fbox{Esc}}$ ),
$\text{\tt Equal[]}$ или ,
или ,
$\ldots$
$\text{\tt True, False}$ ,
$\text{\tt >, >=, <, <=.}$

$\tt In[162]:= 2 > 1 \&\& $\pi$ > 3 \\ \\ Out[162]=True \\ \\ In[163]:= 1 > 2 \|\; $\pi$ > 3 \\ \\ Out[163]=True \\ \\ In[164]:= !x > 1 \\ \\ Out[164]=x $\le$ 1 \\ \\ In[164]:= 2+2==4 \\ \\ Out[165]=True \\ \\ In[166]:= 1 $\ne$ 2 \\ \\ Out[166]=True$

Условные операторы

Оператор If[condition, t, f] или If[condition, t, f, u]

Если условие дает $\text{\tt True}$ , то выполняется часть $\text{\tt t}$ , если условие дает $\text{\tt False}$ , то выполняется часть $\text{\tt f}$ , если условие не дает ни $\text{\tt True}$ , ни $\text{\tt False}$ , то выполняется часть $\text{u}$ :

$\tt In[167]:=abs[x\_ ]:=If[x < 0, -x,x] \\ \phantom{In[167]:=}Map[abs,\{1,0,-1,y\}] \\ \\ Out[168]=\{1,0,1,If[y < 0, -y,y]\} \\ \\ In[169]:= \\ \phantom{In}abs1[x\_]:=If[x >0,-x,x,"значение не сравнимо с нулем"] \\ \phantom{In}Map[abs1,{1,0,-1,y}] \\ \\ Out[170]={1,0,1, значение сравнимо с нулем}$

Оператор Which[test1, value1, test2, value2, ...]

Последовательно выполняет тесты, возвращая значение $\text{\tt value}$ для первого теста, дающего $\text{\tt True}$ :

$\tt In[171]:= a=2; Which[a==1,x,a==2,b,a==2,c] \\ \\ Out[171]=b$

Присвоение при условии lhs := rhs /; test

Присвоение происходит только в случае, если тест дает $\text{\tt True (Condition[])}$ :

$\tt In[172]:=f[x\_{-}]:=$\sqrt{x}$ /;x $\ge$ 0 \\ \\ In[173]:=Map[f,{4,-4}] \\ \\ Out[173]={2,f[-4]}$

Операторы цикла и контроля

Оператор $\text{\tt Do[expr, \{i, imax\}]}$ выполняет $\text{\tt expr}$ для всех $\text{\tt i}$ между $\text{\tt 1}$ и $\text{\tt imax}$ ;
Оператор $\text{\tt Do[expr, \{i, imin, imax, di\}]}$ выполняет $\text{\tt expr}$ для всех $\text{\tt i}$ между $\text{\tt imin}$ и $\text{\tt imax}$ с шагом $\text{\tt di}$ ;
Оператор $\text{\tt Do[expr, \{i, list\}]}$ выполняет $\text{\tt expr}$ для всех $\text{\tt i}$ из списка $\text{\tt list}$ ;
Оператор $\text{\tt Do[expr, \{i, \{n\}\}]}$ выполняет $\text{\tt expr}$ в количестве $\text{\tt n}$ раз

В приводимом ниже примере команда $\text{\tt Print}$ выводит результат на экран:

$\tt In[174]:=Do[res=$i^2$; Print[res],\{I,3\}} \\ \\ \tt \phantom{In[174]:}1 \\ \\ \phantom{In[174]:}4 \\ \\ \phantom{In[174]:}9 \\ \\ \tt In[175]:=t=x;Do[t=1/(1+kt), \{k,2,6,2\}];t \\ \\ Out[175]=$\cfrac{1}{1+\cfrac{6}{1+\cfrac{4}{1+2x}}}$ \\ \\ In[176]:=Do[Print[$i^2$],\{i, \{3, 6, 8\}\}] \\ \\ \phantom{In[176]:}9 \\ \\ \phantom{In[176]:}36 \\ \\ \phantom{In[176]:}64 \\ \\ In[177]:=t-x;Do[t=1/(1+t),\{3\}];t \\ \\ Out[177]=$\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+x}}$$

Вложенные циклы Do[expr, i1, ..., i2, ..., ...]

$\tt In[178]:=Do[Print[{i,j}],{i, 4},{j, i-1}] \\ \\ \phantom{In[178]:}{2,1} \\ \\ \phantom{In[178]:}{3,1} \\ \\ \phantom{In[178]:}{3,2} \\ \\ \phantom{In[178]:}{4,1} \\ \\ \phantom{In[178]:}{4,2} \\ \\ \phantom{In[178]:}{4,3}$

Дальше >>

Авторизоваться

Практикум по компьютерной геометрии

Первое знакомство с пакетом Mathematica