Моделирование непрерывных случайных величин с заданным законом распределения

3. Формирование нормально распределенных случайных чисел по методу бокса и маллера

В соответствии с методом Бокса–Маллера случайные числа формируются парами с математическим ожиданием, близким к значению , и средним квадратическим отклонением, близким к единице, т. е. :

где , — случайные числа из интервала с равномерным распределением.

Выборка случайных чисел, сформированная по методу Бокса–Маллера, может центрироваться с целью получения параметров нормального закона практически равным своим теоретическим значениям стандартного нормального закона, т. е. , .

Пример 3. Сформируйте случайных чисел в соответствии со стандартным нормальным законом.

Программный код решения примера:

clear, clc        
N = 500; 
z1 = -2*log(rand(N,1)).*cos(2*pi*rand(N,1));
z2 = -2*log(rand(N,1)).*sin(2*pi*rand(N,1));
z = sort([z1;z2]);
%-------------- Средняя величина---------------------
mz = sum(z)/(2*N);
fprintf('\n\t m = %g\n',mz)
%-------------- Стандартное отклонение ------------
stz = sqrt(sum((z-mz).^2)/(length(z)-1));
fprintf('\t s = %g\n', stz)
%--------------- Нормализованные данные ----------
zz = (z-mz)/stz;
mzN = sum(zz)/(2*N);
fprintf('\t m = %g\n', mzN)
stzN = sqrt(sum((zz-mzN).^2)/(2*N-1));
fprintf('\t s = %g\n', stzN)

Задание 3

1. В программе примените циклические операции расчета средних значений и средних квадратических отклонений.
2. Рассчитайте параметры нормального закона для сформированной выборки случайных чисел с помощью функций и , сравните результаты.
3. Постройте функцию плотности и функцию распределения для нормализованных данных. Сравните с функциями для данных, получаемых с помощью встроенной функции .
4. Напишите программу формирования выборки случайных чисел, распределенных по нормальному закону в соответствии с методом Марсальи–Брея по следующему алгоритму:
   1. Генерируются два равномерно распределенных случайных числа , из интервала .
   2. Формируются два соотношения .
   3. Составляется сумма .
   4. Если , то пп. 1-3 повторяются.
   5. Если , то вычисляется первая пара случайных чисел , :
      

Для выборки случайных чисел, сформированных по методу Марсальи–Брея, рассчитать параметры нормального закона, т. е. математическое ожидание (среднее) и среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение).

Примечание. Для формирования выборки нормально распределенных случайных чисел с произвольными параметрами и следует воспользоваться формулой

( 3.6)

где — выборка случайных чисел, распределенных по стандартному нормальному закону, т. е. когда , .

4. Формирование выборки случайных чисел, соответствующей нормальному распределению, с помощью центральной предельной теоремы

Известно [20], что сумма одинаково распределенных независимых случайных величин стремится к нормально распределенной величине при бесконечном увеличении . Например, можно воспользоваться случайными числами, равномерно распределенными в интервале . В соответствии с центральной предельной теоремой сформированное случайное число является асимптотически нормальной величиной со средним и дисперсией . В случае, когда используется какое-либо другое распределение с заданным математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением , расчетное математическое ожидание будет равно и среднее квадратическое отклонение .

Когда для формирования нормально распределенных случайных чисел суммируются равномерно распределенные случайные величины из интервала , то приемлемые результаты в смысле параметров стандартного нормального закона дает формула

( 3.7)

где — равномерно распределенное случайное число из интервала .

Пример 4. Сформируйте 5000 нормально распределенных чисел в соответствии с центральной предельной теоремой на основе суммирования случайных чисел, равномерно распределенных в интервале .

Программный код решения примера:

clear, clc
N = 5000;
for J = 1 : N
X(J) = sum(rand(12,1))-6;
end
X = sort(X);
m = mean(X);
s = std(X);
fprintf('\n\t m = %g\n', m)
fprintf('\t s = %g', s)

Задание 4

1. Постройте функции плотности и распределения для случайных величин, сформированных по вышеприведенной программе.
2. Получите выборку случайных чисел со стандартным нормальным распределением при суммировании случайных чисел, распределенных:
   • по экспоненциальному закону,
   • по закону Эрланга 3-го порядка.

   При необходимости произведите центрирование полученных случайных величин.

5. Моделирование нормального закона распределения в системе GPSS/PC

В системе GPSS/PC, как и в других версиях среды GPSS, необходимо обеспечить неотрицательность значений интервалов поступления требований (транзактов) в систему и их задержки (обслуживания). Область определения случайной величины для нормального закона представляет собой всю числовую ось. Поэтому, чтобы обеспечить по возможности только неотрицательные значения случайной величины, необходимо выполнить требование , где — математическое ожидание, а – среднеквадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины. Во многих системах программирования имеются генераторы случайных чисел со стандартным нормальным законом распределения, для которого , . Но переход к нормальному закону с другими параметрами можно произвести по формуле (3.6). Поэтому в системах GPSS можно использовать стандартный нормальный закон распределения с последующим преобразованием по формуле (3.6).

Пример 5. Выполните моделирование одноканальной системы обслуживания, для которой известно, что поступление требований подчиняется равномерному закону из интервала мин., время обслуживания подчиняется нормальному закону с параметрами ., . Моделирование произведите по обслуживанию 1000 требований (транзактов).

Для решения примера сначала сформируем в среде MATLAB функцию стандартного нормального закона для области определения от 0 до 30 мин. Затем данные функции распределения и ее аргумента экспортируем в систему GPSS/PC.

MATLAB-программа формирования массива данных для стандартной функции нормального распределения:

X = linspace(-3,3.2, 49);
F = normcdf(X);
%------ Преобразование нормального закона -------------
m = 18; s = 3;
xx = m + s*X;
F2 = [0,F];
X2 = [0, xx];
%%% Заголовок и имя функции для GPSS/PC
fid = fopen('norm.txt', 'w'); %% запись в текстовый файл
fprintf(fid, 'nor function RN6,C50\r\n')
%%% Цикл форматированного вывода данных для GPSS/PC
for J = 1 : length(X2)
if mod(J, 3)
fprintf(fid, '%g,%g/', F2(J), X2(J));
else
fprintf(fid, '\r\n');
fprintf(fid, '%g,%g/', F2(J), X2(J));
end
end
fprintf(fid,';\r\n------------------------------\r\n');
fclose(fid);

Получаемые результаты здесь не приводятся, они будут использованы в GPSS-программе после их экспортирования.

Примечание. В системе GPSS/PC массив данных для функции распределения должен начинаться с нулевых значений, поэтому в программе предусмотрено прибавление нулей к формируемому массиву.

Программный код решения примера в GPSS/PC:

simulate
nor function RN6,C50
0,0/0.0013499,9/
0.00204696,9.3875/0.00305642,9.775/0.00449413,10.1625/
0.00650796,10.55/0.00928214,10.9375/0.0130406,11.325/
0.0180485,11.7125/0.0246108,12.1/0.0330681,12.4875/
0.0437873,12.875/0.0571489,13.2625/0.0735293,13.65/
0.0932785,14.0375/0.116696,14.425/0.144004,14.8125/
0.175324,15.2/0.21065,15.5875/0.249838,15.975/
0.29259,16.3625/0.338461,16.75/0.386865,17.1375/
0.437097,17.525/0.488366,17.9125/0.539828,18.3/

0.59063,18.6875/0.639953,19.075/0.687048,19.4625/
0.731273,19.85/0.772116,20.2375/0.809213,20.625/
0.842351,21.0125/0.871463,21.4/0.896616,21.7875/
0.917988,22.175/0.935849,22.5625/0.950529,22.95/
0.962394,23.3375/0.971826,23.725/0.9792,24.1125/
0.98487,24.5/0.989157,24.8875/0.992346,25.275/
0.994678,25.6625/0.996355,26.05/0.997542,26.4375/
0.998368,26.825/0.998933,27.2125/0.999313,27.6/
;------------------------------
tab1 table mp1,5,2,15
***********************************
10  generate 13,3
20  seize 1
30  mark 1
40  advance fn$nor
50  tabulate tab1
60  release 1
70  terminate 1
start 1000
;end

В программе предусмотрено табулирование времени пребывания транзактов в устройстве обслуживания по стандартному числовому атрибуту , где цифра относится к номеру параметра, через который производится отметка времени блока .

На рис. 3.1 приведена гистограмма распределения времени обслуживания. Эта гистограмма может быть получена после запуска программы на исполнение при закомментированном операторе , и далее с помощью комбинации клавиш Alt+T можно перейти в окно просмотра таблиц.

Рис. 3.1. Гистограмма распределения времени обслуживания

Как видно из рис. 3.1, гистограмма имеет форму, близкую к функции плотности нормального закона. Среднее значение времени распределения обслуживания требований в устройстве равно 17.62 ( ), стандартное отклонение равно 3.00 ( ), что достаточно близко к условию примера.

Задание 5

1. По файлу стандартного отчета постройте функцию распределения времени обработки транзактов в устройстве. Сравните с той же функцией, построенной в среде MATLAB.
2. Проанализируйте результаты для разных номеров генераторов случайных чисел в зависимости от номера компьютера: .
3. Проанализируйте результаты при различных значениях счетчика завершений, т. е. положите , и т. д. в зависимости от номера компьютера, за которым выполняется лабораторная работа (1, 2, 3, ...). Графический образ получаемой гистограммы внесите в отчет лабораторной работы.