Моделирование многоканальных систем массового обслуживания

Теоретическая часть

Многоканальные системы массового обслуживания — это системы с параллельно включенными приборами обслуживания. Для них принято использовать символику Кендалла, которая состоит из основных четырех позиций вида , где — закон поступления требований в систему, — закон обслуживания требований, m — число параллельно функционирующих приборов (каналов, узлов) обслуживания, — допустимое число требований в системе, т. е. число требований в очереди плюс число требований, принятых на обслуживание. В системе последний символ — число источников нагрузки [2]. При этом параметры системы постоянны, а процессы в системах рассматриваются с позиций теории размножения и гибели.

Предметом данной лабораторной работы будут системы с простейшим пуассоновским потоком, экспоненциальным обслуживанием и, возможно, экспоненциальном уходом из очереди "нетерпеливых" требований. При сделанных условиях исследуемые системы будут иметь следующие обозначения: , с нетерпеливыми требованиями, , где первые буквы означают пуассоновский поток требований и экспоненциальное обслуживание, а в последнем примере крайняя правая буква — это число требований, формируемых конечным числом источников нагрузки. В частности, может быть система с отказами, т. е. с отказами.

При моделировании сначала требуется составить дифференциальные уравнения относительно вероятностей состояний. Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями Колмогорова [2]. При правильном составлении уравнений их решения при заданных начальных условиях стремятся к своим установившимся значениям. Эти значения называются стационарными вероятностями, на основе которых рассчитываются операционные характеристики системы.

Для составления уравнений Колмогорова можно использовать мнемоническое правило [4]. Сначала определим понятие потока вероятности: это такой поток, который переводит систему из одного состояния в другое соседнее и определяется как произведение вероятности -го состояния, из которого происходит переход, на интенсивность потока событий (интенсивность поступления требований или интенсивность обслуживания). Теперь приведем мнемоническое правило составления уравнений Колмогорова: производная вероятности любого состояния равна сумме потоков вероятности, переводящих систему в это состояние, минус сумма всех потоков вероятности, выводящих систему из этого состояния [4].

Прежде чем применять правило Колмогорова, целесообразно изобразить размеченный граф состояний заданной системы. На рис. 2.1 показан пример размеченного графа состояний для системы M/M/3/5 ( , , — интенсивность входного потока требований, — интенсивность обслуживания одним прибором).

Рис. 2.1. Размеченный граф состояний системы М/М/3/5

Используем мнемоническое правило составления уравнений Колмогорова для состояния 2, которое обведено окружностью. При этом потоки вероятности будут направлены по стрелкам. Если стрелка входит в окружность, то поток вероятности принимается положительным. Если стрелка выходит из окружности, то поток вероятности будет отрицательным. Относительно каждого состояния можно проводить воображаемую окружность. Дифференциальные уравнения имеют следующий вид:

( 2.1)

Для решения систем дифференциальных уравнений типа (2.1) обычно задают естественные начальные условия:

( 2.2)

Если в системе (2.1) производные приравнять нулю, то можно будет получить соотношения для расчета стационарных вероятностей состояний системы. При этом следует использовать нормировочное условие для :

( 2.3)

Практическая часть

2.1. Пример моделирования системы типа М/М/M/K

Система — это система с пуассоновским входящим потоком требований, с экспоненциальным законом обслуживания в m приборах, с допустимым числом требований в системе, не превышающим , которое не менее, чем заданное количество приборов обслуживания. Параметры системы постоянны, т. е. , . Систему называют многоканальной системой массового обслуживания с ограниченной длиной очереди.

Пример 1. Проинтегрируйте систему массового обслуживания при естественных граничных условиях и параметрах , . Рассчитайте операционные характеристики системы [2].

Для решения примера сначала составим дифференциальные уравнения в соответствии с мнемоническим правилом Колмогорова:

Естественные начальные условия:

Программный код решения примера в MATLAB:

function MMmK;
clc,close 
% Параметры системы
L = 3.52;
M = 0.678;
m = 4;
K = 7; 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
global A
A = [-L,M,0,0,0,0,0,0;
L,-(L+M),2*M,0,0,0,0,0;
0,L,-(L+2*M),3*M,0,0,0,0;
0,0,L,-(L+3*M),4*M,0,0,0;
0,0,0,L,-(L+4*M),4*M,0,0;
0,0,0,0,L,-(L+4*M),4*M,0;
0,0,0,0,0,L,-(L+4*M),4*M;
0,0,0,0,0,0,L,-4*M];
%% Численное интегрирование дифф. уравнений
P0 = [1;zeros(length(A)-1,1)];
T = [0,20];
[t,P] = ode23(@cmo, T, P0);
 
%% Построение диаграммы вероятностей состояний
%% line(t,P,'linew',2) %% с различными цветами
line(t,P(:,1),'linew',2, 'color','r') %% Po
line(t,P(:,2), 'linew',2,'lines','--') %% P1
line(t,P(:,3), 'linew',2,'lines','-.') %% P2
line(t,P(:,4), 'linew',2,'lines',':') %% P3
line(t,P(:,5), 'marker','o', 'color', 'm') %% P4
line(t,P(:,6), 'marker','h', 'color','k') %% P5
line(t,P(:,7), 'marker','p','color','r') %% P6
line(t,P(:,8), 'marker','>') %% P7
grid on
N = length(A)-1;
arr = [0:N]';
str = num2str(arr);
legend(strcat('\bf\itP\rm\bf_', str, '(\itt\rm\bf)'));
title(sprintf('%s Вероятности состояний системы M/M/%d/%d', '\bf\fontsize{12}',m, K));
xlabel('\bf\it\fontsize{12} -  -  -  -  -  -  -  -   t   -  -  -  -  -  -  -  -')
ylabel('\bf\fontsize{12}\itP\rm\bf(\itt\rm\bf)');
set(gca, 'fontweight','bold', 'fontsize',10)

fprintf('\n Стационарные вероятности:\n');
for J = 1 : length(A)
    fprintf('\tP%d = %f\n', J-1, P(end,J));
end
 fprintf('\n\t ОПЕРАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ:\n');
Pnot = P(end,end);

fprintf(' Вероятность отказа Pnot = %f\n', P(end,end));
Q = 1 - Pnot;
fprintf(' Относительная пропускная способность Q = %f\n', Q);
Ab = L*Q;
fprintf(' Абсолютная пропускная способность A = %f\n', Ab);
Pq = sum(P(end, m+1:end));
fprintf(' Вероятность наличия очереди Pq = %f\n', Pq);
Ps = sum(P(end, m:end));
fprintf(' Вероятность загрузки всех каналов обслуживания Ps = %f\n', Ps);
 
Ns = [0:length(A)-1]*P(end,:)';
fprintf(' Среднее количество требований в системе Ns = %f\n', Ns);
fprintf(' Среднее время пребывания требования в системе Ts = %f\n', Ns/L);
Nq = [0:(K-m)]*P(end,m:K)';
fprintf(' Средняя длина очереди Nq = %f\n', Nq);
fprintf(' Среднее время пребывания требования в очереди Tq = %f\n', Nq/L);
 
 
function f = cmo(t,P);
%% Функция описания правых частей 
%% дифференциальных уравнений
global A
f = A*P;

Результат выполнения программы

Стационарные вероятности:
	P0 = 0.004352
	P1 = 0.022604
	P2 = 0.058629
	P3 = 0.101614
	P4 = 0.131597
	P5 = 0.171220
	P6 = 0.221807
	P7 = 0.288176

	 ОПЕРАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
 Вероятность отказа: Pnot = 0.288176
 Относительная пропускная способность: Q = 0.711824
 Абсолютная пропускная способность: A = 2.505620
 Вероятность наличия очереди: Pq = 0.812800
 Вероятность загрузки всех каналов обслуживания: Ps = 0.914415
 Среднее количество требований в системе: Ns = 5.175269
 Среднее время пребывания требования в системе: Ts = 1.470247
 Средняя длина очереди: Nq = 1.139458
 Среднее время пребывания требования в очереди: Tq = 0.323710

Среднее время пребывания требования в системе было рассчитано по формуле Литтла. Для расчета среднего времени пребывания требования в очереди использовался аналог формулы Литтла [2].

Диаграмма с вероятностями состояний системы показана на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Вероятности состояний системы М/М/4/7

Задание 1

1. Рассчитайте нормировочное условие для трех значений времени.
2. Определите вероятность того, что в системе будет не более требований. Значение выбирайте случайно по равномерному закону из интервала целых чисел (см. ).
3. Примените диалоговое окно (см. ) для ввода параметров системы.
4. Напишите программу для произвольно задаваемых параметров системы , и значений , . Предусмотрите также ввод длительности интервала интегрирования.