НОУ ИНТУИТ | Моделирование систем. Лекция 2: Моделирование многоканальных систем массового обслуживания

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Мордовский государственный университет имени Н.П. Огарева

Опубликован: 30.11.2010 | Доступ: свободный | Студентов: 3338 / 2035 | Оценка: 4.12 / 4.13 | Длительность: 14:37:00

ISBN: 978-5-9963-0352-6

Темы: Программирование, Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Программист, Системный архитектор

|

Вам нравится? Нравится 32 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

2.2. Пример моделирования системы типа М/М/M/K с ограниченным временем ожидания

Пример 2. Получите операционные характеристики системы M/M/4/7 с ограниченным временем ожидания при следующих параметрах системы: $\lambda = 3.52 \mbox{ }с^{–1}$ — интенсивность входного потока требований, $\mu = 0.678 \mbox{ }с^{–1}$ — интенсивность обслуживания каждым прибором, $\nu = 1.3\mbox{ }с^{–1}$ — интенсивность ухода из очереди "нетерпеливых" требований. Моделирование проведите в MATLAB и GPSS/PC.

Размеченный граф состояний системы показан на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Граф состояний системы с ограниченным временем ожидания

На рис. 2.3 вокруг состояния 4 проведена воображаемая окружность для пояснения применения мнемонического правила составления дифференциальных уравнений Колмогорова. В соответствии с мнемоническим правилом получаем следующую систему дифференциальных уравнений:

$\frac{dP_{0}}{dt}=-\lambda P_{0}+\mu P_{1};\\ \frac{dP_{1}}{dt}=\lambda P_{0}-(\lambda +\mu) P_{1}+2\mu P_{2};\\ \frac{dP_{2}}{dt}=\lambda P_{1}-(\lambda +2\mu) P_{2}+3\mu P_{3};\\ \frac{dP_{3}}{dt}=\lambda P_{2}-(\lambda +3\mu) P_{3}+4\mu P_{4};\\ \frac{dP_{4}}{dt}=\lambda P_{3}-(\lambda +4\mu) P_{4}+(4\mu +\nu) P_{5};\\ \frac{dP_{5}}{dt}=\lambda P_{4}-(\lambda +4\mu+\nu) P_{5}+(4\mu +2\nu)P_{6};\\ \frac{dP_{6}}{dt}=\lambda P_{5}-(\lambda +4\mu+2\nu) P_{6}+(4\mu+3\nu) P_{7};\\ \frac{dP_{7}}{dt}=\lambda P_{6}-(4\mu+3\nu) P_{7};\\$

где $P_{i},\mbox{ } i=\overline{0,7}$ — вероятности состояний системы.

Для интегрирования системы дифференциальных уравнений зададим естественные граничные условия:

$P_{0}(0)=1,\qquad P_{i}(0)=0,\qquad i=\overline{1,7}.$

Программный код решения примера в системе MATLAB:

function MMmKv
%% Система M/M/4/7 с ограниченным временем ожидания в очереди
% Параметры системы
L = 3.52;
M = 0.678;
v = 1.3;
m = 4; 
K = 7;

% Матрица коэффициентов системы дифференциальных уравнений
global A
A = [-L, M, zeros(1,6);
    L, -(L+M), 2*M, zeros(1,5);
    0, L, -(L+2*M), 3*M, zeros(1,4);
    0, 0, L, -(L+3*M), 4*M, zeros(1,3);
    zeros(1,3), L, -(L+4*M), (4*M+v), 0, 0;
    zeros(1,4), L, -(L+4*M+v), (4*M+2*v), 0;
    zeros(1,5), L, -(L+4*M+2*v), (4*M+3*v);
    zeros(1,6), L ,-(4*M+3*v)];
% Решение дифференциальных уравнений
T = [0,20]; % Время интегрирования
P0 = [1;zeros(length(A)-1,1)]; % Начальные условия
[t, P] = ode23(@cmo, T, P0);

%% Построение диаграмм вероятностей состояний
% line(t,P,'linew',2) %% сполошные линии с различными цветами
line(t,P(:,1),'linew',2, 'color','r') %% Po
line(t,P(:,2), 'linew',2,'lines','--') %% P1
line(t,P(:,3), 'linew',2,'lines','-.') %% P2
line(t,P(:,4), 'linew',2,'lines',':') %% P3
line(t,P(:,5), 'marker','o', 'color', 'm') %% P4
line(t,P(:,6), 'marker','h', 'color','k') %% P5
line(t,P(:,7), 'marker','p','color','r') %% P6
line(t,P(:,8), 'marker','>') %% P7
grid on
N = length(A)-1;
arr = [0:N]';
str = num2str(arr);
legend(strcat('\bf\itP\rm\bf_', str, '(\itt\rm\bf)'));
title(sprintf('%s Вероятности состояний системы M/M/%d/%d', '\bf\fontsize{12}',m, K));
xlabel('\bf\it\fontsize{12} -  -  -  -  -  -  -  -   t   -  -  -  -  -  -  -  -')
ylabel('\bf\fontsize{12}\itP\rm\bf(\itt\rm\bf)');

set(gca, 'fontweight','bold', 'fontsize',10)

Pcm = P(end,:); % Стационарные вероятности
fprintf('\n Стационарные вероятности:\n');
for J = 1 : length(A)
    fprintf('\tP%d = %f\n', J-1, Pcm(J));
end
fprintf('\n\t ОПЕРАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ:\n');
Pnot = P(end,end);
fprintf(' Вероятность отказа Pnot = %f\n', P(end,end));
Q = 1 - Pnot;
fprintf(' Относительная пропускная способность Q = %f\n', Q);
Ab = L*Q;
fprintf(' Абсолютная пропускная способность A = %f\n', Ab);
Pq = sum(P(end, m+1:end));
fprintf(' Вероятность наличия очереди Pq = %f\n', Pq);
Ps = sum(P(end, m:end));
fprintf(' Вероятность загрузки всех каналов обслуживания Ps = %f\n', Ps);
Ns = [0:length(A)-1]*P(end,:)';
fprintf(' Среднее количество требований в системе Ns = %f\n', Ns);
fprintf(' Среднее время пребывания требования в системе Ts = %f\n', Ns/L);
Nq = [0:(K-m)]*P(end,m:K)';
fprintf(' Средняя длина очереди Nq = %f\n', Nq);
fprintf(' Среднее время пребывания требования в очереди Tq = %f\n', Nq/L);

function f = cmo(t,P);
%% Функция описания правых частей 
%% дифференциальных уравнений
global A
f = A*P;

Результат выполнения программы

Стационарные вероятности:
	P0 = 0.007887
	P1 = 0.040947
	P2 = 0.106289
	P3 = 0.183963
	P4 = 0.238701
	P5 = 0.209568
	P6 = 0.138707
	P7 = 0.073939

	 ОПЕРАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
 Вероятность отказа: Pnot = 0.073939
 Относительная пропускная способность: Q = 0.926061
 Абсолютная пропускная способность: A = 3.259736
 Вероятность наличия очереди: Pq = 0.660915
 Вероятность загрузки всех каналов обслуживания: Ps = 0.844877
 Среднее количество требований в системе: Ns = 4.157868
 Среднее время пребывания требования в системе: Ts = 1.181213
 Средняя длина очереди: Nq = 1.073958
 Среднее время пребывания требования в очереди: Tq = 0.305102

Диаграмма вероятностей состояний системы М/М/4/7 с ограниченным временем ожидания показана на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Вероятности состояний системы М/М/4/7 с ограниченным временем ожидания

Задание 3

Постройте зависимость среднего времени пребывания в очереди от интенсивности входного потока, изменяя интенсивность от до , где — номер компьютера (1, 2, 3, ...), за которым выполняется лабораторная работа.
Напишите программу для анализа системы с параметрами, вводимыми с клавиатуры пользователем, т. е. $\lambda$ , $\mu$ , $\nu$ , , . Предусмотрите также ввод интервала интегрирования дифференциальных уравнений.

Для решения примера в системе GPSS/PC подготовим данные о функциях распределения входного потока, экспоненциальном обслуживании и экспоненциальном уходе из очереди "нетерпеливых" требований.

Программа в MATLAB формирования данных:

clear all,clc
L = 3.52; %% Интенсивность входного потока
M = 0.678; %% Интенсивность обслуживания
v = 1.3; %% Интенсивность ухода из очереди
%% Функции экспоненциального распределения
x = 0 : 0.2 : 20;
F = 1 - exp(-L*x); 
F2 = 1 - exp(-M*x);
F3 = 1 - exp(-v*x);
%%% Запись в текстовый файл MC2.txt
fid = fopen('MC2.txt', 'w');
%% Для блока generate
    fprintf(fid, 'puas  function RN1,C50\r\n');
for J = 1 : length(x)
    if J <= 50
        if mod(J, 5) 
fprintf(fid, '%g,%g/', F(J), x(J));    
        
        else
fprintf(fid, '\r\n');  
fprintf(fid, '%g,%g/', F(J), x(J));    
         end
    end
end
fprintf(fid, '\r\n;-----------------------------------\r\n');
%% Для блоков advance
fprintf(fid, '\r\nexpM  function RN2,C50\r\n');
for J = 1 : length(x)
    if J <= 50
        if mod(J, 5) 
fprintf(fid, '%g,%g/', F2(J), x(J));    
        
        else
fprintf(fid, '\r\n');  
fprintf(fid, '%g,%g/', F2(J), x(J));  
         end
    end
end

fprintf(fid, '\r\n;-----------------------------------\r\n');
%% Для функции распределения ухода из очереди
fprintf(fid, '\r\nexpM  function RN3,C50\r\n');
for J = 1 : length(x)
    if J <= 50
        if mod(J, 5) 
fprintf(fid, '%g,%g/', F3(J), x(J));    
        
        else
fprintf(fid, '\r\n');  
fprintf(fid, '%g,%g/', F3(J), x(J));  
         end
    end
end
fclose(fid);

GPSS-программа приводится ниже. В ней задано условие обработки 1000 требований.

Программный код решения примера в системе GPSS/PC:

simulate
puas  function RN1,C50
0,0/0.505397,0.2/0.755368,0.4/0.879004,0.6/
0.940155,0.8/0.970401,1/0.98536,1.2/0.992759,1.4/0.996419,1.6/
0.998229,1.8/0.999124,2/0.999567,2.2/0.999786,2.4/0.999894,2.6/
0.999948,2.8/0.999974,3/0.999987,3.2/0.999994,3.4/0.999997,3.6/
0.999998,3.8/0.999999,4/1,4.2/1,4.4/1,4.6/
1,4.8/1,5/1,5.2/1,5.4/1,5.6/
1,5.8/1,6/1,6.2/1,6.4/1,6.6/
1,6.8/1,7/1,7.2/1,7.4/1,7.6/
1,7.8/1,8/1,8.2/1,8.4/1,8.6/
1,8.8/1,9/1,9.2/1,9.4/1,9.6/
1,9.8/
;-----------------------------------
expM  function RN2,C50
0,0/0.126808,0.2/0.237536,0.4/0.334223,0.6/
0.418649,0.8/0.492369,1/0.556741,1.2/0.612949,1.4/0.662031,1.6/
0.704888,1.8/0.742311,2/0.774988,2.2/0.803521,2.4/0.828436,2.6/
0.850192,2.8/0.869189,3/0.885777,3.2/0.900261,3.4/0.912909,3.6/
0.923953,3.8/0.933596,4/0.942017,4.2/0.949369,4.4/0.95579,4.6/
0.961396,4.8/0.966291,5/0.970566,5.2/0.974298,5.4/0.977558,5.6/
0.980403,5.8/0.982888,6/0.985058,6.2/0.986953,6.4/0.988607,6.6/
0.990052,6.8/0.991314,7/0.992415,7.2/0.993377,7.4/0.994217,7.6/
0.99495,7.8/0.995591,8/0.99615,8.2/0.996638,8.4/0.997064,8.6/
0.997437,8.8/0.997762,9/0.998045,9.2/0.998293,9.4/0.99851,9.6/
0.998699,9.8/
;-----------------------------------
expV  function RN3,C50
0,0/0.228948,0.2/0.405479,0.4/0.541594,0.6/
0.646545,0.8/0.727468,1/0.789864,1.2/0.837974,1.4/0.87507,1.6/
0.903672,1.8/0.925726,2/0.942731,2.2/0.955843,2.4/0.965953,2.6/
0.973748,2.8/0.979758,3/0.984392,3.2/0.987966,3.4/0.990721,3.6/
0.992845,3.8/0.994483,4/0.995746,4.2/0.99672,4.4/0.997471,4.6/
0.99805,4.8/0.998497,5/0.998841,5.2/0.999106,5.4/0.999311,5.6/
0.999469,5.8/0.99959,6/0.999684,6.2/0.999756,6.4/0.999812,6.6/
0.999855,6.8/0.999888,7/0.999914,7.2/0.999934,7.4/0.999949,7.6/
0.999961,7.8/0.99997,8/0.999977,8.2/0.999982,8.4/0.999986,8.6/
0.999989,8.8/0.999992,9/0.999994,9.2/0.999995,9.4/0.999996,9.6/
0.999997,9.8/

***************************************
T_s table m1,0,2,6
**************************************
10  GENERATE fn$puas
20  test LE  q1,3,exit1
30  test L  qx1,fn$expV,exit2
40  QUEUE 1
50  TRANSFER  ALL,CHAN1,CHAN4,3

**************************************
100 CHAN1  SEIZE zet1
110  assign 1,zet1
120  transfer  ,come
**************************************
200 chan2   SEIZE zet2
210  assign 1,zet2
220  transfer  ,come
**************************************
300 chan3   SEIZE zet3
310  assign 1,zet3
320  transfer  ,come
**************************************
400 chan4   SEIZE zet4
410  assign 1,zet4

**************************************
510 come  DEPART 1
520  advance fn$expM
530  release p1
540  tabulate T_s
550 work   terminate 1
560 exit1  terminate
570 exit2  terminate

**************************************
START 1000
;end

В программе использованы следующие стандартные числовые атрибуты: — длина первой очереди, qx1 — среднее время пребывания в первой очереди без нулевых входов, — время пребывания транзакта в модели. Освобождение того или иного устройства блоком release выполнено на основе записи в первый параметр транзактов имени устройства, например, assign 1,zet4 .

Программа реализует следующий алгоритм. Поступающие по пуассоновскому закону требования (транзакты в системах GPSS) попадают в очередь на обслуживание. Если в очереди меньше или равно 3 транзактам, то они ожидают начала обслуживания. В противном случае они покидают систему по метке exit1 . Проверка длины очереди осуществляется блоком TEST в строке 20. Время ожидания соотносится со случайным временем ожидания "нетерпеливых" требований —— со значением функции распределения expV . Если оно меньше, то требования поступают в устройства обслуживания, в одно из свободных устройств, начиная с первого (реализуется блоком TRANSFER в режиме ALL ). Поступающим в устройства обслуживания транзактам в первый параметр записывается имя устройства ( zet1, … , zet4 ), после чего они отправляются по метке come в блок DEPART , который освобождает одно место в очереди под номером 1. Далее происходит обслуживание транзактов по экспоненциальному закону блоком ADVANCE в строке 520. Вывод транзакта из работающего устройства осуществляется блоком RELEASE по первому параметру, в котором записано имя устройства. Обслуженные транзакты выводятся из системы блоком TERMINATE с меткой work .

Для получения распределения времени пребывания в модели использован оператор таблицы table с меткой T_s . Сбор статистики для введенной таблицы осуществляется блоком TABULATE .

Результат выполнения программы система GPSS/PC оформляет в виде файла стандартного отчета, который имеет следующий вид:

GPSS/PC Report file REPORT.GPS.  (V 2, # 37349)  01-08-2010 11:16:14   page 1

     START_TIME    END_TIME  BLOCKS    FACILITIES  STORAGES   FREE_MEMORY
            0          416     23           4          0        137072

 LINE       LOC          BLOCK_TYPE       ENTRY_COUNT   CURRENT_COUNT   RETRY
  10         1            GENERATE            14227              0         0
  20         2            TEST                14227              0         0
  30         3            TEST                13127              0         0
  40         4            QUEUE                1002              0         0
  50         5            TRANSFER             1288              1         0
  100       CHAN1         SEIZE                 317              0         0
  110        7            ASSIGN                317              0         0
  120        8            TRANSFER              317              0         0
  200       CHAN2         SEIZE                 265              0         0
  210        10           ASSIGN                265              0         0
  220        11           TRANSFER              265              0         0
  300       CHAN3         SEIZE                 232              0         0
  310        13           ASSIGN                232              0         0
  320        14           TRANSFER              232              0         0
  400       CHAN4         SEIZE                 187              0         0
  410        16           ASSIGN                187              0         0
  510       COME          DEPART               1001              0         0
  520        18           ADVANCE              1001              1         0
  530        19           RELEASE              1000              0         0
  540        20           TABULATE             1000              0         0
  550       WORK          TERMINATE            1000              0         0
  560       EXIT1         TERMINATE            1100              0         0
  570       EXIT2         TERMINATE           12125              0         0


FACILITY   ENTRIES  UTIL.   AVE._TIME AVAILABLE  OWNER PEND INTER RETRY DELAY
 ZET1          317  0.776        1.02      1         0   0     0     1     0
 ZET2          265  0.675        1.06      1     14161   0     0     1     0
 ZET3          232  0.557        1.00      1         0   0     0     1     0
 ZET4          187  0.507        1.13      1         0   0     0     1     0


QUEUE        MAX  CONT. ENTRIES ENTRIES(0) AVE.CONT. AVE.TIME  AVE.(-0) RETRY
  1            4     1    1002       765     0.72        0.30      1.27    0


TABLE            MEAN      STD.DEV. RETRY  RANGE           FREQUENCY  CUM.%
 T_S              1.34        1.58    0 
                                          -         0         374      37.40
                                        0 -         2         448      82.20
                                        2 -         4         122      94.40
                                        4 -         6          42      98.60
                                        6 -         8          14     100.00


XACT_GROUP         GROUP_SIZE       RETRY
 POSITION                  0           0

По файлу стандартного отчета определим следующие операционные характеристики: среднее время пребывания в очереди и среднее время пребывания в модели (в системе). Эти характеристики обозначим и соответственно.

Значение расположено в поле AVE.TIME статистики очереди. Оно равно Tq = 0.30 .

Значение Ts есть среднее значение таблицы T_S , т. е. в поле MEAN . Оно равно Ts = 1.34 .

Поскольку очередь имеет нулевые входы – поле ENTRIES(0) , для расчета средней длины очереди используем аналог формулы Литтла [2], т. е.

$Nq = \lambda \cdot Tq = 3.52\cdot 0.30 = 1.0560.$

Для определения среднего количества требований в системе используем формулу Литтла:

$Ns = \lambda \cdot Ts = 3.52\cdot 1.34 = 4.7168.$

Задание 4

По данным файла стандартного отчета определите вероятность отказа, относительную пропускную способность, абсолютную пропускную способность.
Если требуется, то внесите изменения в программу для определения ве-роятности наличия очереди и вероятности загрузки всех каналов обслуживания.
Внесите изменения в программу для определения вероятностей состояния системы.
Полученные результаты сведите в таблицу, в которую также внесите операционные характеристики системы с ограниченным временем ожидания, полученные с помощью анализа в MATLAB.

Дальше >>

Авторизоваться

Моделирование систем

Моделирование многоканальных систем массового обслуживания

2.2. Пример моделирования системы типа М/М/M/K с ограниченным временем ожидания

Вопросы и ответы