Сервисы MATHCAD 14: реализация технологий экономико-математического моделирования
[+]
Уральский государственный экономический университет
Опубликован: 27.05.2014 | Доступ: свободный | Студентов: 467 / 49 | Длительность: 11:44:00
Темы: Математика, Экономика, Образование
Лекция 4:

Оптимизационные модели
A
|
версия для печати
< Лекция 3 || Лекция 4: 12345678 || Лекция 5 >

4.3. Транспортная задача

Транспортная задача – задача поиска оптимального распределения поставок однородных грузов [20]. В общей постановке формулируется так: составить план поставок продукции (грузов) от поставщиков к потребителям, имеющий минимальную стоимость затрат.

Модель задачи.

Входные переменные:

  • m –количество поставщиков, i – текущий номер поставщика.
  • n - количество потребителей , j – текущий номер потребителя,
  • c_{ij} - стоимость перевозки единицы продукции от i- го поставщика к j-му потребителю, A_i(i=\overline{1,m}) - объемы производства поставщиков,
  • B_j(j=\overline{1,n}) – объемы доставки продукции от всех поставщиков потребителям,
  • Р_{ij} – требуемое количество единиц продукта, доставленного от i- го поставщика к j-му потребителю при наличии плана доставки

Управляемые переменные - x_{ij} - количество единиц продукта, доставленного от i- го поставщика к j-му потребителю,

Выходные показатели – суммарные затраты доставки продукции F=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}c_{ij}x_{ij}.

Целевая функция – результирующий, оптимизируемый параметр – суммарные затраты. Цель решения задачи – нахождение значений управляемых переменных x_{ij}, обеспечивающих минимум целевой функции F.

F=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}c_{ij}x_{ij}\to \min

Математическая модель транспортной задачи может быть закрытой (сбалансированной) - все грузы должны быть вывезены, и все потребности полностью удовлетворены. В этом случае \sum_{i}^{m}A_i=\sum_{j}^{n}B_j.

На практике обычно встречается случай открытой (несбалансированной) транспортной задачи, когда производство не совпадает с потреблением. В этом случае открытая модель сводится к закрытой. Для этого вводятся либо фиктивный поставщик (случай дефицита), либо фиктивный потребитель (случай перепроизводства). Стоимость перевозок единицы продукции, как от фиктивного поставщика, так и до фиктивного потребителя полагают раной нулю, так как в обоих случаях продукция не перевозится.

\sum_{i}^{m}A_i-\sum_{j}^{n}B_j=объем \;продукции\; фиктивного\; поставщика\; (потребителя)

При добавлении фиктивного поставщика (потребителя) количество поставщиков m (или потребителей n) увеличивается на единицу.

В результате имеем систему уравнений.

\left\{ \begin{array}{lc} \sum_{i=1}^{m}x_{ij}=A_i \; (i=\overline{1,m}) \\ \sum_{j=1}^{n}x_{ij}=A_j \; (j=\overline{1,n}) \\ x_j\ge 0, \; i=\overline{1,m}, \; j=\overline{1,n} \\ x_j\ge P_j \\ F=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}c_{ij}x_{ij}\to \min \\ \end{array} \right\ ( 4.8)

Открытая транспортная задача

Задача 4.4.

Имеется 4 мебельные фирмы и 5 центров распределения товаров - магазинов. Планируется наладить перевозки продукции с фирм в магазины. Фирмы имеют следующие возможности производства: 280, 150, 225, 175 единиц в месяц. Пяти магазинам необходимо поставить 100, 200, 50, 250 и 150 единиц товара в месяц соответственно. Необходимо так спланировать перевозки, чтобы уменьшить (оптимизировать) транспортные расходы.

Стоимость перевозок единиц продукции приведена в таблице.

Таблица 4.3. Стоимость перевозки единицы продукции
Фирмы/магазины Олимп Сфера Квартира Уют Товары для дома
Томек 1,50 2 2,25 2,25 2,25
СуперМебель 2,5 2,2 1,65 1 1,5
Мебель-лес 2,3 1,7 1,5 1,4 1,6
ЦентрМебель 2,3 0,5 1,85 1,35 1,25

Решение (рис. 4.4). Определим тип задачи. Суммарное количество производимого товара составляет \sum_{i}^{m}A_i=830, количество товара, которое надо доставить \sum_{j}^{n}B_j=750. Задача "открытого типа". Имеем случай перепроизводства. Сбалансируем задачу, сведем к "закрытому типу", введя фиктивного потребителя с потребностью \sum_{i}^{m}A_i-\sum_{j}^{n}B_j=80. Стоимость перевозок единицы продукции до фиктивного потребителя считаем равной нулю.

В Mathcad транспортная задача решается аналогично задаче производства – в матричном виде, с помощью блока given и в данном случае функции miniimize. Особенность заключается в том, что матрица неизвестных двумерна. Для построения ограничений – нахождения суммы по строкам и по столбцам вводим единичные векторы. . Порядок действий тот же. Документ Mathcad решения задачи показан на рис.4.3.

ORIGIN:=1

Входные данные

m:=4, \; n:=5

\underline{i}:=1..\underline{m} - фирмы-поставщики

\underline{j}:=1..\underline{n} - магазины-потребители

Производство фирм поставщиков: A:=\begin{pmatrix} 280\\ 150\\ 225\\ 175 \end{pmatrix}

Потребность магазинов: B:=\begin{pmatrix} 100\\ 200\\ 50\\ 250\\ 150\end{pmatrix}

\sum_{\underline{i}}^{}\underline{A}_{\underline{i}}=830, \sum_{\underline{j}}^{}\underline{B}_{\underline{j}}=750, \sum_{\underline{i}}^{}\underline{A}_{\underline{i}}-\sum_{\underline{j}}^{}\underline{B}_{\underline{j}}=80

Вводим фиктивного потребителя в магазин с потребностью 80 ед.

\underline{n}:=\underline{n}+1=6, \underline{j}:=1..\underline{n}

\underline{Потребители}+\underline{фиктивный}

B:=\begin{pmatrix} 100\\ 200\\ 50\\ 250\\ 150\\ 80\end{pmatrix}

Стоимость перевозки ед. продукции: с:=\begin{pmatrix} 1.5 & 2 & 1.55 & 2.25 & 2.25 & 0\\ 2.5 & 2.2 & 1.65 & 1 & 1.5 & 0 \\ 2.3 & 1.7 & 1.5 & 1.4 & 1.6 & 0\\ 2.3 & 0.5 & 1.85 & 1.35 & 1.25 & 0\end{pmatrix}

Решение:

\underline {F}(\underline {x})=\sum_{\underline {i}=1}^{m}\sum_{\underline {j}=1}^{\underline {n}}(\underline {x}_{\underline {i}\underline {j}}\cdot \underline {c}_{\underline {i}\underline {j}})

Начальные значения: \underline{x}_{\underline {i},\underline {j}}:=1

Единичный вектор-столбец для магазинов: \underline{v}_{\underline {j}}:=1

Единичный вектор-столбец для поставщиков: \underline {k}_{\underline {j}}:=1

\underline{Given}

\underline{x}\cdot \underline{v}=\underline{A}

\underline{x}^T\cdot \underline{k}=\underline{B}

x \ge 0

\underline{x}:=\underline{Minimize}(\underline{F}, \underline{x})

Оптимальные перевозки: x=\begin{pmatrix} 100 & 25 & 50 & 0 & 25 & 80\\ 0 & 0 & 0 & 150 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 100 & 125 & 0\\ 0 & 175 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

Затраты: \underline {F}(\underline {x})=911.25

\underline {x}\cdot \underline {y}=\begin{pmatrix} 280\\ 150\\ 225\\ 175 \end{pmatrix}

\underline {x}^T\cdot \underline {k}=\begin{pmatrix} 100\\ 200\\ 50\\ 250 \\ 150 \\ 80\end{pmatrix}

Листинг решения задачи 4.4. Оптимальные перевозки. Показан фиктивный потребитель.

Рис. 4.3. Листинг решения задачи 4.4. Оптимальные перевозки. Показан фиктивный потребитель.

Результат решения показывает, как спланировать доставку. Минимальные затраты составляют F=911ед. Излишек товара выгоднее отправить в "Товары для дома" (магазин 5).

Дальше >>
< Лекция 3 || Лекция 4: 12345678 || Лекция 5 >

Вопросы и ответы

вопросов: 0