НОУ ИНТУИТ | Сервисы MATHCAD 14: реализация технологий экономико-математического моделирования. Лекция 4: Оптимизационные модели

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Уральский государственный экономический университет

Опубликован: 27.05.2014 | Доступ: свободный | Студентов: 471 / 50 | Длительность: 11:44:00

Темы: Математика, Экономика, Образование

|

Вам нравится? Нравится 25 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

1. Выполнение части плана из имеющихся ресурсов

Решение задачи 4.3 в комплектной постановке. Задача - определить, какую часть плана можно выполнить при имеющихся ресурсах. Для этого случая воспользуемся моделью, приведенной в [21]. Ставится цель определения максимальной доли выпуска требуемого плана при имеющихся ресурсах. Разработана "комплектная" постановка задачи. Вводится новая переменная – возможный процент достижения плана, определяется ее оптимальное значение при уменьшенном плане, ресурсные и технологические ограничения задачи записываются без изменений.: Целевая функция K(y,x_j ) строится как функция двух аргументов: скаляра и вектора переменных продукции $x_j,\;j=\overline{1,m}$ , который неявно зависит от . .Решение получается в виде вектора с элементами y1_1 - .найденная доля выполнения плана и y1_2 .- найденный вектор переменных продукции.

Система уравнений в "комплектной" постановке

$\left\{ \begin{array}{lc} K(x_j,y)\to\max \sum_{j}^{m}a_{ij}\cdot x_j\le B_i \\ x_j\ge P_j\cdot y\\ x_j\ge 0 \\ \end{array} \right\$

( 4.6)

Ниже приведен листинг решения в MathCad (комплектная постановка).

Входные данные

$c:=\begin{pmatrix} 10000 & 35000 & 20000 \end{pmatrix}$ - цена реализации

$q:=\begin{pmatrix} 1800 & 2700 & 2100\end{pmatrix}$ - затраты на один компьютер

d:=c-q - прибыль на один компьютер

$P:=\begin{pmatrix} 40 \\ 20 \\ 10 \end{pmatrix}$ - план выпуска

Z(x) – прибыль

Матрица затрат ресурсов: > $a:=\begin{pmatrix} 4& 6& 5 \\ 1& 3& 4 \\ 5& 2& 3 \\ 2& 2& 2 \\ 1& 2& 3 \\ \end{pmatrix}$

Матрица запасов ресурсов: $B:=\begin{pmatrix} 240 \\ 145\\ 155 \\ 60 \\ 70 \end{pmatrix}$

Начальные значения: $x:=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$ , y:=1

Решение:

$Z(x):=d\cdot x$

K(y,x):=y – целевая функция

Given

$a\cdot x \le B$

$x \ge P \cdot y$

y1:=Maximize(K,y,x) , $y1:=\begin{pmatrix} 0.429\\ \{3.1\} \end{pmatrix}$

Доля плана: y1_1=0.43

Количество выпуска: $y1_2:=\begin{pmatrix} 17 \\ 9\\ 4 \end{pmatrix}$

Прибыль: Z(y1_2):= 494143

Израсходовано ресурсов: $a\cdot y1_2:=\begin{pmatrix} 141 \\ 60\\ 116 \\ 60 \\ 47 \end{pmatrix}$

Остаток ресурсов: $B-a\cdot y1_2:=\begin{pmatrix} 99\\ 85\\ 39\\ 0\\23\end{pmatrix}$

Как видно, план можно выполнен только на 43%, но это оптимальный процент при имеющихся условиях. Полученная прибыль при таком плане еще меньше, чем в задаче 4.2 и ресурсов остается больше.

2. Добавление минимального количества ресурсов для выполнения плана

Решение задачи 4.3 с добавлением ресурсов. Добавление недостающих ресурсов для выполнения полного плана. Воспользуемся t-моделью постановки задачи, представленной в [21], - нахождения минимума дополнительного количества ресурсов, необходимых для выпуска продукции в соответствии с планом. В предлагаемой t-модели вводятся новые переменные $t_i,\;i=\overline{1,n}$ – значения дополнительных ресурсов каждого вида продукции . Цель задачи – минимум суммарного количества добавляемых ресурсов. В ресурсные ограничения вводятся дополнительные неизвестные ресурсы, плановые и технологические ограничения вводятся в t-модель без изменений. Целевая функция T(x,t) вводится как функция двух аргументов: вектора добавочных ресурсов $t_i,\;i=\overline{1,n}$ и вектора переменных продукции $x_j,\;j=\overline{1,m}$ , который неявно зависит от t_j

Система уравнений в постановке t -модели

$\left\{ \begin{array}{lc} T(x_j,t_i)=\sum_{i}^{n}to\min \sum_{j}^{m}a_{ij}\cdot x_j\le B_i+t_i \\ x_j\ge P_j \\ x_j\ge 0 \\ \end{array} \right\$

( 4.7)

Листинг решения в Mathcad показан ниже. .Решение получается в виде двумерной переменной с элементами t1_1 найденный вектор продукции. и t1_2 , найденный вектор добавочных ресурсов

Далее, имея полученные значения добавочных ресурсов, решаем исходную задачу. На диаграммах показаны старые ресурсы, новые ресурсы. Видны добавочные ресурсы, добавлено ровно столько, чтобы выполнить план. В результате план выполняется и ресурсов не остается