Компания ALT Linux
Опубликован: 12.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 486 / 21 | Длительность: 20:55:00
Лекция 11:

Обработка результатов эксперимента. Метод наименьших квадратов

11.2.3 Подбор коэффициентов функции

Y=ax^be^{cx}

Параметры b и c входят в зависимость Y=ax^be^{cx} нелинейным образом. Чтобы избавиться от нелинейности предварительно прологарифмируем1Можно и не проводить предварительное логарифмирование выражения Y=ax^be^{cx}, однако в этом случаем получаемая система уравнений будет нелинейной, которую решать сложнее. выражение Y=ax^be^{cx}:\ln Y=\ln a+b\ln x+cx. Сделаем замену Y1 = lnY, A = ln a, после этого функция примет вид: Y1 = A + blnx + cx.

Составим функцию S(A, b, c) по формуле (11.1):

S(A,b,c)=\sum_{i=1}^n\left(Y1_i-A-b\ln x_i-cx_i\right)^2\to\min ( 11.15)

После дифференцирования получим систему трёх линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов A, b, c.

\left\{
						\begin{matrix}
						\displaystyle nA+b\sum_{i=1}^n\ln x_i+c\sum_{i=1}^nx_i=\sum_{i=1}^nY1_i\\
						\displaystyle A\sum_{i=1}^n\ln x_i+b\sum_{i=1}^n(\ln x_i)^2+b\sum_{i=1}^nx_i\ln x_i=\sum_{i=1}^nY1_i\ln x_i\\
						\displaystyle A\sum_{i=1}^nx_i+b\sum_{i=1}^nx_i\ln x_i+c\sum_{i=1}^nx_i^2=\sum_{i=1}^nY1_ix_i
						\end{matrix}
						\right. ( 11.16)

После решения системы (11.16) необходимо вычислить значение коэффициента a по формуле a=e^A.

11.2.4 Функции, приводимые к линейной

Для вычисления параметров функции Y = ax^b необходимо предварительно её прологарифмировать \ln Y=\ln ax^b=\ln a+b\ln x. После чего замена Z = lnY, X = lnx, A = lna приводит заданную функцию к линейному виду Z = bX + A, где коэффициенты A и b вычисляются по формулам (11.6) и, соответственно, a=e^A.

Аналогично можно подобрать параметры функции вида Y = ae^{bx}. Прологарифмируем заданную функцию \ln y=\ln a+bx\ln e,\ln y=\ln a+bx. Проведём замену Y = lny, A = lna и получим линейную зависимость Y = bx + A. По формулам (11.6) найдём A и b, а затем вычислим a=e^A.

Рассмотрим ещё ряд зависимостей, которые сводятся к линейной.

Для подбора параметров функции Y=\frac{1}{ax+b} сделаем замену Y=\frac{1}{Y}. В результате получим линейную зависимость Z = ax + b. Функция Y=\frac{x}{ax+b} заменами Z=\frac{1}{Y}, X=\frac{1}{x} сводится к линейной Z = a + bX. Для определения коэффициентов функциональной зависимости Y=\frac{1}{ae^{-x}+b} необходимо сделать следующие замены Z=\frac{1}{Y},X=e^{-x}. В результате также получим линейную функцию Z = aX + b.

Аналогичными приёмами (логарифмированием, заменами и т. п.) можно многие подбираемые зависимости преобразовать к такому виду, что получаемая при решении задачи оптимизации система (11.2) была системой линейных алгебраических уравнений. При использовании Octave можно напрямую решать задачу подбора параметров, как задачу оптимизации (11.1) с использованием функции sqp.

После нахождения параметров зависимости f(x,a_{1},a_{2},\dots, a_{k}) возникает вопрос насколько адекватно описывает подобранная зависимость экспериментальные данные. Чем ближе величина

S=\sum_{i=1}^n\left(y_i-f(x_i,a_1,a_2,\dots,a_k)\right)^2 ( 11.17)

называемая суммарной квадратичной ошибкой, к нулю, тем точнее подобранная кривая описывает экспериментальные данные.

Алексей Игнатьев
Алексей Игнатьев

Возможна ли разработка приложения на Octave с GUI?

Евгений Ветчанин
Евгений Ветчанин

Добрый день. Я самостоятельно изучил курс "Введение в Octave" и хочу получить сертификат. Что нужно сднлать для этого? Нужно ли записаться на персональное обучение с тьютором или достаточно перевести деньги?

Алина Шебалина
Алина Шебалина
Россия, г. Рубцовск