Компания ALT Linux
Опубликован: 12.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 486 / 21 | Длительность: 20:55:00
Лекция 11:

Обработка результатов эксперимента. Метод наименьших квадратов

11.2.1 Подбор коэффициентов линейной зависимости

Для подбора параметров линейной функции Y=a_1+a_2x, составим функцию (11.1) для линейной зависимости:

S(a_1,a_2)=\sum_{i=1}^n\left(y_i-a_1-a_2x_i\right)^2\to \min. ( 11.4)

Продифференцировав функцию S по a_1 и a_2, получим систему уравнений:

\left\{
						\begin{matrix}
						\displaystyle 2\sum_{i=1}^n\left(y_i-a_1-a_2x_i\right)(-1)=0\\
						\displaystyle 2\sum_{i=1}^n\left(y_i-a_1-a_2x_i\right)(-x_i)=0
						\end{matrix}
						\right.
						\Rightarrow
						\left\{
						\begin{matrix}
						\displaystyle a_1n+a_2\sum_{i=1}^nx_i=\sum_{i=1}^ny_i\\
						\displaystyle a_1\sum_{i=1}^nx_i+a_2\sum_{i=1}^nx_i^2=\sum_{i=1}^ny_ix_i
						\end{matrix}
						\right. ( 11.5)

решив которую, определим коэффициенты функции Y=a_1+a_2x:

\left\{
						\begin{matrix}
						\displaystyle a_1=\displaystyle \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^ny_i}n-a_2\displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^nx_i}n\\
						\displaystyle a_2=\displaystyle \frac{n\displaystyle\sum_{i=1}^ny_ix_i-\sum_{i=1}^ny_i\sum_{i=1}^nx_i}{n\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i^2-\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^2}
						\end{matrix}
						\right.

11.2.2 Подбор коэффициентов полинома k–й степени

Для определения параметров зависимости Y=a_1+a_2x+a_3x^2 составим функцию S(a_1,a_2,a_3)(11.1):

S(a_1,a_2,a_3)=\sum_{i=1}^n\left(y_i-a_1-a_2x_i-a_3x_i^2\right)^2\to \min ( 11.7)

После дифференцирования S по a_i,a_2 и a_3 получим систему линейных алгебраических уравнений:

\left\{
					\begin{matrix}
					\displaystyle a_{1}n+a_{2}\sum_{i=1}^{n}x_{i}+a_{3}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}=\sum_{i=1}^{n}y_{i}\\
					\displaystyle a_{1}\sum_{i=1}^{n}x_{i}+a_{2}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}+a_{3}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{3}=\sum_{i=1}^{n}y_{i}x_{i}\\
					\displaystyle a_{1}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}+a_{2}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{3}+a_{3}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{4}=\sum_{i=1}^{n}y_{i}x_{i}^{2}
					\end{matrix}
					\right. ( 11.8)

Решив систему (11.8), найдём значения параметров aa_i,a_2 и a_3.

Аналогично определим параметры многочлена третьей степени:S(a_1,a_2,a_3,a_4). Составим функцию S(a_1,a_2,a_3,a_4):

S(a_1,a_2,a_3,a_4)=\sum_{i=1}^n\left(y_i-a_1-a_2x_i-a_3x_i^2-a_4x_i^3\right)^2\to\min ( 11.9)

После дифференцирования S по a_i,a_2,a_3 и a_4, система линейных алгебраических уравнений для вычисления параметров a a_1,a_2,a_3,a_4 примет вид:

\left\{
					\begin{matrix}
					&\displaystyle a_{1}n+a_{2}\sum_{i=1}^{n}x_{i}+a_{3}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}+a_{4}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{3}=\sum_{i=1}^{n}y_{i}\\
					&\displaystyle a_{1}\sum _{i=1}^{n}x_{i}+a_{2}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}+a_{3}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{3}+a_{4}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{4}=\sum_{i=1}^{n}y_{i}x_{i}\\
					&\displaystyle a_{1}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}+a_{2}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{3}+a_{3}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{4}+a_{4}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{5}=\sum_{i=1}^{n}y_{i}x_{i}^{2}\\
					&\displaystyle a_{1}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{3}+a_{2}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{4}+a_{3}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{5}+a_{4}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{6}=\sum_{i=1}^{n}y_{i}x_{i}^{3}
					\end{matrix}
					\right. ( 11.10)

Решив систему (11.10), найдём коэффициенты a_i,a_2,a_3 и a_4.

В общем случае система уравнений для вычисления параметров a_i многочлена k-й степени Y=\sum_{i=1}^{k+1}a_{i}x^{i-1} имеет вид:

\left\{
						\begin{matrix}
						\displaystyle a_1n+a_2\sum_{i=1}^nx_i+a_3\sum_{i=1}^nx_i^2+\ldots +a_{k+1}\sum_{i=1}^nx_i^k=\sum_{i=1}^ny_i\\
						\displaystyle a_1\sum_{i=1}^nx_i+a_2\sum_{i=1}^nx_i^2+a_3\sum_{i=1}^nx_i^3+\ldots +a_{k+1}\sum_{i=1}^nx_i^{k+1}=\sum_{i=1}^ny_ix_i\\
						\hdotsfor{1}\\
						\displaystyle a_1\sum_{i=1}^nx_i^{k+1}+a_2\sum_{i=1}^nx_i^{k+2}+a_3\sum_{i=1}^nx_i^{k+3}+\ldots +a_{k+1}\sum_{i=1}^nx_i^{2k}=\sum_{i=1}^ny_ix_i^k
						\end{matrix}
						\right. ( 11.11)

В матричном виде систему (11.11) можно записать

Ca = g, ( 11.12)

Элементы матрицы C и вектора g рассчитываются по формулам

C_{i,j}=\sum_{k=1}^nx_k^{i+j-2},\quad i=1,\dots,k+1,\ j=1,\dots,k+1 ( 11.13)
g_i=\sum_{k=1}^ny_kx_k^{i-1},\quad i=1,\dots,k+1 ( 11.14)

Решив систему (11.12), определим параметры зависимости Y=a_1+a_2x+a_3x^2+\dots+a_{k+1}x^k.

Алексей Игнатьев
Алексей Игнатьев

Возможна ли разработка приложения на Octave с GUI?

Евгений Ветчанин
Евгений Ветчанин

Добрый день. Я самостоятельно изучил курс "Введение в Octave" и хочу получить сертификат. Что нужно сднлать для этого? Нужно ли записаться на персональное обучение с тьютором или достаточно перевести деньги?

Людмила Лузан
Людмила Лузан
Россия, Тюмень, ТюмГНГУ, 2008