Компания ALT Linux
Опубликован: 12.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 486 / 21 | Длительность: 20:55:00
Лекция 5:

Задачи линейной алгебры

5.7 Собственные значения и собственные векторы

Пусть A — матрица размерностью n \times n. Любой ненулевой вектор x, принадлежащий некоторому векторному пространству, для которого Ax=\lambda x, где λ — некоторое число, называется собственным вектором матрицы, а λ — принадлежащим ему или соответствующим ему собственным значением матрицы A.

Уравнение Ax = \lambda x эквивалентно уравнению (A - \lambda E)x = 0. Это однородная система линейных уравнений, нетривиальные решения которой являются искомыми собственными векторами. Она имеет нетривиальные решения только тогда, когда r(A - \lambda E) < n, то есть, если det(A - \lambda E) = 0. Многочлен det(A - \lambda E) называется характеристическим многочленом матрицы A, а уравнение det(A - \lambda E) = 0 — характеристическим уравнением матрицы A. Если \lambda_i — собственные значения A, то нетривиальные решения однородной системы линейных уравнений det(A - \lambda E) = 0 есть собственные векторы A, принадлежащие собственному значению \lambda_i. Множество решений этой системы уравнений называют собственным подпространством матрицы A, принадлежащим собственному значению \lambda_i, каждый ненулевой вектор собственного подпространства является собственным вектором матрицы A.

Иногда требуется найти собственные векторы y и собственные значения \hbar, определяемые соотношением Ay=\hbar By, (y\ne 0), где B — невырожденная матрица. Векторы y и числа \hbar обязательно являются собственными векторами и собственными значениями матрицы B^{-1}A. Пусть A=a_{ij} и B=b_{ij}, причём матрица B является положительно определённой, тогда собственные значения \hbar совпадают с корнями уравнения n–й степени det(A-\hbar B)=det(a_{ij}-\hbar b_{ij}=0. Это уравнение называют характеристическим уравнением для обобщённой задачи о собственных значениях. Для каждого корня \hbar кратности m существует ровно m линейно независимых собственных векторов y.

Пример 5.14. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A.

В листинге 5.15 показано решение поставленной задачи.

	
disp( ’Введите матрицу:’ ); A=input ( ’A=’ ); [ n,m]= size (A);
disp( ’Вектор собственных значений матрицы A:’ ); d=eig (A)
[ L, D]= eigA);
disp( ’L - Матрица собственных векторов:’ ); L
disp( ’D - Диагональная матрица собственных значений:’ ); D
disp( ’Проверка:’ );
for i =1:n
	(A - D( i, i ) * eye ( n ) ) *L ( :, i )
end;
% _____________________________________
Введите матрицу:
A= [ 5 2 -1;1 -3 2; 4 5 -3]
Вектор собственных значений матрицы A:
d =
	 4.9083e+00
	-2.1495e-16
	-5.9083e+00
L - Матрица собственных векторов:
L =
	-0.796113  -0.049326  0.181303
	-0.241044  0.542590   -0.598803
	-0.555069  0.838548   0.780106
D - Диагональная матрица собственных значений:
D =
Diagonal Matrix
	4.9083e+00    0             0
	0             -2.1495e-16   0
	0             0             -5.9083e+00
Проверка:
ans =
	-2.3657e-16
	-4.3585e-16
	 7.4420e-16
ans =
	 2.7756e-17
	-4.1633e-16
	 4.4409e-16
ans =
	2.0632e-16
	1.5772e-15
	2.6606e-16
Листинг 5.15. Нахождение собственных значений (пример 5.14).

Пример 5.15. Привести заданную матрицу к диагональному виду.

Задача состоит в том, чтобы для квадратной матрицы A подобрать такую матрицу C, чтобы матрица B = C^{-1} AC имела диагональный вид. Эта задача связана с теорией собственных значений, так как разрешима только в том случае, если матрица C состоит из собственных векторов матрицы A.

В листинге 5.16 приведено решение поставленной задачи.

	
disp( ’Введите матрицу:’ ); A=input ( ’A=’ );
format bank;
[ C,D]= eig (A);
disp( ’Диагональная матрица к матрице А:’ ); D
disp( ’Проверка B=D’ ); B=inv (C) *A*C
% _____________________________________
Введите матрицу:
A= [ 2 1 3; 1 -2 1; 3 2 2 ]
Диагональная матрица к матрице А:
D =
Diagonal Matrix
	5.41     0        0
	0 		 -1.00    0
	0        0        -2.41
Проверка B=D
B =
	5.41   -0.00   -0.00
	0.00   -1.00   0.00
    -0.00  -0.00   -2.41
Листинг 5.16. Приведение к диагональному виду (пример 5.15).

Пример 5.16. Найти решение обобщённой задачи о собственных значениях для матриц A и B.

Обобщённую задачу о собственных значениях (листинг 5.17) решают при помощи функции eig(A, B), которая в качестве результата выдаёт матрицу обобщённых собственные векторов и диагональную матрицу, содержащую обобщённые собственные значения.

	
disp( ’Введите матрицу А:’ ); A=input ( ’A=’ );
disp( ’Введите матрицу В:’ ); B=input ( ’B=’ );
[ X,V]= eig (A,B);
disp( ’Матрица обобщённых собственных векторов:’ ); X
disp( ’Матрица обобщённых собственных значений:’ ); V
disp( ’Обобщённые собственные значения:’ ); v=diag (V)
% _____________________________________
Введите матрицу А:
A= [ 1 -3;-3 4 ]
Введите матрицу В:
B= [ 1 2; -3 1 ]
Матрица обобщённых собственных векторов:
X =
	1.00   0.92
	0.00   1.00
Матрица, содержащая обобщённые собственные значения:
V =
Diagonal Matrix
	1.00    0
	0       -0.71
Обобщённые собственные значения:
v =
	1.00
	-0.71
Листинг 5.17. Обобщённая задача о собственных значениях (пр. 5.16).

5.8 Норма и число обусловленности матрицы

Матричная норма — это некоторая скалярная числовая характеристика, которую ставят в соответствие матрице. В задачах линейной алгебры используются различные матричные нормы:

  • первая норма \|A\|_1 квадратной матрицы A=\{a_{ij}\}: \|A\|_1=max\sum^n_{i=1}|a_{ij}|\text{;}
  • вторая норма \|A\|_2 квадратной матрицы A=\{a_{ij}\}:\|A\|_2=\sqrt{\lambda_{max}(AA^T)}\text{,}, где \sqrt{\lambda_{max}(AA^T)} — максимальное собственное значение матрицы A=\{a_{ij}\};
  • евклидова норма \|A\|_e квадратной матрицы A=\{a_{ij}\}:\|A\|_e=\sqrt{\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}|a_{ij}|^2}\text{;}
  • бесконечная норма \|A\|_i квадратной матрицы A=\{a_{ij}\}:\|A\|_i=max\sum^n_{j=1}|a_{ij}|\text{.}

Число обусловленности матрицы A используется для определения меры чувствительности системы линейных уравнений Ax = b к погрешностям задания вектора b. Чем больше число обусловленности, тем более неустойчив процесс нахождения решения системы. Существует несколько вариантов вычисления числа обусловленности, но все они связаны с нормой матрицы, и равны произведению нормы исходной матрицы на норму обратной:

  • число обусловленности матрицы, вычисленное в норме \|A\|_1:N=\|A\|_1\cdot \|A^{-1}\|_1;
  • число обусловленности матрицы, вычисленное в норме \|A\|_2:M=\|A\|_2\cdot \|A^{-1}\|_2;
  • число обусловленности матрицы, вычисленное в норме \|A\|_i:P=\|A\|_i\cdot \|A^{-1}\|_i;
  • число обусловленности матрицы, вычисленное в норме \|A\|_e:H=\|A\|_e\cdot \|A^{-1}\|_e.

Пример 5.17. Вычислить нормы и числа обусловленности матрицы A.

В листинге 5.18 приведён фрагмент документа, в котором происходит вычисление норм матрицы A с помощью функции norm и по соответствующим формулам. Вычисление чисел обусловленности проведено при помощи функции cond(A) и по формулам, отражающим зависимость числа обусловленности от соответствующей нормы матрицы.

	
disp( ’Введите матрицу:’ ); A=input ( ’A=’ ); [ n,m]= size (A);
disp( ’Первая норма:’ ); n_1= norm(A, 1 )
N_1= max(sum( abs (A) ) )
disp ( ’Вторая норма:’ ); n_2= norm(A, 2 )
N_2= sqrt(max( eig (A*A’ ) ) )
disp( ’Бесконечная норма:’ ); n_i= norm(A, inf )
N_i= max(sum( abs (A’ ) ) )
disp( ’Евклидова норма:’ ); n_e= norm(A, ’fro’ )
N_e= sqrt(sum( diag (A*A’ ) ) )
disp( ’Число обусловленности в первой норме:’ ); c_1= cond (A, 1 )
C_1= norm(A, 1 ) *norm( inv (A), 1 )
disp ( ’Число обусловленности во второй норме:’ ); c_2= cond (A, 2 )
C_2= norm(A, 2 ) *norm( inv (A), 2 )
disp ( ’Число обусловленности в бесконечной норме:’ ); c_i= cond (A, inf )
C_i= norm(A, inf ) *norm( inv (A), inf )
disp ( ’Число обусловленности в евклидовой норме:’ ); c_e= cond (A, ’fro’ )
C_e= norm(A, ’fro’ ) *norm( inv (A), ’fro’ )
% _____________________________________
Введите матрицу:
A= [ 5 7 6 5; 7 10 8 7; 6 8 10 9; 5 7 9 10 ]
Первая норма:
n_1 = 33.00
N_1 = 33.00
Вторая норма:
n_2 = 30.29
N_2 = 30.29
Бесконечная норма:
n_i = 33.00
N_i = 33.00
Евклидова норма:
n_e = 30.55
N_e = 30.55
Число обусловленности в первой норме:
c_1 = 4488.00
C_1 = 4488.00
Число обусловленности во второй норме:
c_2 = 2984.09
C_2 = 2984.09
Число обусловленности в бесконечной норме:
c_i = 4488.00
C_i = 4488.00
Число обусловленности в евклидовой норме:
c_e = 3009.58
C_e = 3009.58
Листинг 5.18. Вычисление матричных норм (пример 5.17).
Алексей Игнатьев
Алексей Игнатьев

Возможна ли разработка приложения на Octave с GUI?

Евгений Ветчанин
Евгений Ветчанин

Добрый день. Я самостоятельно изучил курс "Введение в Octave" и хочу получить сертификат. Что нужно сднлать для этого? Нужно ли записаться на персональное обучение с тьютором или достаточно перевести деньги?

Людмила Лузан
Людмила Лузан
Россия, Тюмень, ТюмГНГУ, 2008