Компания ALT Linux
Опубликован: 12.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 485 / 21 | Длительность: 20:55:00
Лекция 5:

Задачи линейной алгебры

5.6 Решение систем линейных уравнений

Система m уравнений с n неизвестными вида

\left\{
							\begin{array}{ccccccccc}
							a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\dots&+&a_{1n}x_n&=&b_1\\
							a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\dots&+&a_{2n}x_n&=&b_2\\
							\vdots && \vdots & &\vdots && \vdots &&\vdots\\\
							a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\dots&+&a_{mn}x_n&=&b_m
							\end{array}
							\right.

называется системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), причём x_j — неизвестные, a_ij — коэффициенты при неизвестных, b_i — свободные коэффициенты (i = 1 . . . m, j = 1 . . . n).

Кроме того, система из m линейных уравнений с n неизвестными может быть описана при помощи матриц: A \cdot x = b, где x = \{x_j\} — вектор неизвестных, A = \{a_{ij}\} — матрица коэффициентов при неизвестных или матрица системы, b = \{b_i\} — вектор свободных членов системы или вектор правых частей (i = 1 . . . m, j = 1 . . . n).

Матрица (A|b), которая формируется путём приписывания к матрице коэффициентов A столбца свободных членов b, называется расширенной матрицей системы.

Если все b_i= 0, то речь идёт об однородной системе линейных уравнений, иначе говорят о неоднородной системе.

Совокупность всех решений системы (x_1, x_2. . . x_n), называется множеством решений или просто решением системы. Две системы уравнений называются эквивалентными, если они имеют одинаковое множество решений.

Однородные системы линейных уравнений Ax = 0 всегда разрешимы, так как последовательность (x_1= 0, x_2= 0, . . ., x_n= 0) удовлетворяет всем уравнениям системы. Такое решение называют тривиальным. Вопрос о решении однородных систем сводится к вопросу о том, существуют ли кроме тривиального другие, нетривиальные решения.

Система линейных уравнений может не иметь ни одного решения и тогда она называется несовместной, например, в системе:

\left\{\begin{aligned}x_1+x_2=1\\x_1+x_2=3\\\end{aligned}\right.

левые части уравнений совпадают, а правые различны, поэтому никакие значения x_1 и x_2 не могут удовлетворить обоим уравнениям сразу.

Если же система линейных уравнений обладает решением, то она называется совместной. Совместная система называется определённой, если она обладает одним единственным решением, и неопределённой, если решений больше чем одно. Так, система:

\left\{
						\begin{aligned}
						x_1+2x_2=&7\\
						x_1+x_2=&6
						\end{aligned}
						\right.

определена и имеет единственное решение x_1= 5, x_2= 1, а система уравнений:

\left\{
							\begin{aligned}
							3x_1-x_2&=1\\
							6x_1-2x_2&=2
							\end{aligned}
							\right.

неопределена, так как имеет бесконечное множество решений вида x_1 = k, x_2= 3k-1, где число k произвольно.

Совокупность всех решений неопределённой системы уравнений называется её общим решением, а какое–то одно конкретное решение — частным. Частное решение, полученное из общего при нулевых значениях свободных переменных, называется базисным.

При определении совместности систем уравнений важную роль играет понятие ранга матрицы. Пусть дана матрица A размером n \times m. Вычёркиванием некоторых строк или столбцов из неё можно получить квадратные матрицы k-го порядка, определители которых называются минорами порядка k матрицы A. Наивысший порядок не равных нулю миноров матрицы A называют рангом матрицы и обозначают r(A). Из определения вытекает, что r(A) \le min(n, m), а r(A) = 0, только если матрица нулевая и r(A) = n для невырожденной матрицы n-го порядка. При элементарных преобразованиях (перестановка строк матрицы, умножение строк на число отличное от нуля и сложение строк) ранг матрицы не изменяется. Итак, если речь идёт об исследовании системы на совместность, следует помнить, что система n линейных уравнений с m неизвестными:

  • несовместна, если r(A|b) > r(A);
  • совместна, если r(A|b) = r(A), причём при r(A|b) = r(A) = m имеет единственное решение, а при r(A|b) = r(A) <m имеет бесконечно много решений.

Существует немало мето дов для практического отыскания решений систем линейных уравнений. Эти методы разделяют на точные и приближённые. Метод относится к классу точных, если с его помощью можно найти решение в результате конечного числа арифметических и логических операций. В этом разделе на конкретных примерах будут рассмотрены только точные методы решения систем.

Пример 5.8. Решить систему линейных уравнений

\left\{
							\begin{array}{rcrcrcr}
							2x_1&-&x_2&+&5x_3&=&1\\
							3x_1&+&2x_2&-&5x_3&=&1\\
							x_1&+&x_2&-&2x_3&=&4
							\end{array}
							\right. ( 5.6)

при помощи правила Крамера.

Правило Крамера заключается в следующем. Если определитель detA матрицы системы Ax = b из n уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение (x_1, x_2, . . ., x_n), определяемое по формулам Крамера x_i=\frac{det_i}{det}, где det_i — определитель матрицы, полученной из матрицы системы A заменой i-го столбца столбцом свободных членов b. Если определитель матрицы системы равен нулю, это не означает, что система не имеет решений: возможно, её нельзя решить по формулам Крамера.

Итак, для решения поставленной задачи необходимо выполнить следующие действия:

  • представить систему в матричном виде, то есть сформировать матрицу системы A и вектор правых частей b;
  • вычислить главный определитель detA;
  • сформировать вспомогательные матрицы для вычисления определителей det_i;
  • вычислить определители det_i;
  • найти решение системы по формуле x_i=\frac{det_i}{det}.

Листинг 5.9 содержит решение поставленной задачи.

	
>>> disp( ’Решение СЛАУ методом Крамера’ );
>>> disp( ’Матрица системы:’ ); A=[2 -1 5; 3 2 -5;1 1 -2]
>>> disp( ’Вектор свободных коэффициентов:’ ); b = [ 0; 1; 4 ]
>>> disp( ’Главный определитель:’ ); D=det (A)
>>> disp( ’Вспомогательные матрицы:’ );
>>> A1=A; A1( :, 1 )=b
>>> A2=A; A2( :, 2 )=b
>>> A3=A; A3( :, 3 )=b
>>> disp( ’Вспомогательные определители:’ );
>>> d( 1 )=det (A1);
>>> d( 2 )=det (A2);
>>> d( 3 )=det (A3);
>>> d
>>> disp( ’Вектор решений СЛАУ Ax=b’ ); x=d/D
>>> disp( ’Проверка Ax-b=0’ ); A* x’-b
% _______________________________
Решение СЛАУ методом Крамера
Матрица системы:
A =
	2 -1  5
	3  2 -5
	1  1 -2
Вектор свободных коэффициентов:
b =
	0
	1
	4
Главный определитель:
D = 6 . 0 0 0 0
Вспомогательные матрицы:
A1 =
	0 -1  5
	1  2 -5
	4  1 -2
A2 =
	2 0  5
	3 1 -5
	1 4 -2
A3 =
	2 -1 0
	3  2 1
	1  1 4
Вспомогательные определители:
d = -17.000   91.000    25.000
Вектор решений СЛАУ Ax=b
x = -2.8333   15.166    74.1667
Проверка Ax-b=0
ans =
-4.4409e-15
3.5527e-15
8.8818e-16
Листинг 5.9. Решение СЛАУ методом Крамера (пример 5.8).

Решение СЛАУ по формулам Крамера выглядит достаточно громоздко, поэтому на практике его используют довольно редко.

Пример 5.9. Решить систему линейных уравнений 5.6 из примера 5.8 методом обратной матрицы.

Метод обратной матрицы: для системы из n линейных уравнений с n неизвестными Ax = b, при условии, что определитель матрицы A не равен нулю, единственное решение можно представить в виде x = A^{-1}b (вывод формулы см. в примере 5.7).

Итак, для того, чтобы решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы, необходимо выполнить следующие действия:

  • сформировать матрицу коэффициентов и вектор свободных членов заданной системы;
  • решить систему, представив вектор неизвестных как произведение матрицы обратной к матрице системы и вектора свободных членов (листинг 5.10).
	
>>> disp ( ’Решение СЛАУ методом обратной матрицы’ );
>>> disp ( ’Матрица системы:’ );
>>> A=[2 -1 5; 3 2 -5;1 1 -2]
>>> disp ( ’Вектор свободных коэффициентов:’ );
>>> b = [ 0; 1; 4 ]
>>> disp ( ’Вектор решений СЛАУ Ax=b’ );
>>> x=A^( -1) * b
>>> disp ( ’Вектор решений СЛАУ Ax=b с помощью функции inv(A)’ );
>>> x=inv (A) * b
>>> disp ( ’Проверка Ax=b’ );
>>> A*x
% ______________________________________
Решение СЛАУ методом обратной матрицы
Матрица системы:
A =
	2 -1  5
	3  2 -5
	1  1 -2
Вектор свободных коэффициентов:
b =
	0
	1
	4
Вектор решений СЛАУ Ax=b
x =
	-2.8333
	15.1667
	4.1667
Вектор решений СЛАУ Ax=b с помощью функции inv(A)
x =
	-2.8333
	15.1667
	4.1667
Проверка Ax-b=0
ans =
-5.3291e-15
1.0000e+00
4.0000e+00
Листинг 5.10. Решение СЛАУ примера 5.8 методом обратной матрицы (пример 5.9).

Пример 5.10. Решить систему линейных уравнений

\left\{
								\begin{array}{ccccccccc}
								2x_1&+&x_2&-&5x_3&+&x_4&=&8\\
								x_1&-&3x_2&&&-&6x_4&=&9\\
								&&2x_2&-&x_3&+&2x_4&=&-5\\
								x_1&+&4x_2&-&7x_3&+&6x_4&=&0
								\end{array}
								\right. ( 5.7)

методом Гаусса.

Решение системы линейных уравнений при помощи метода Гаусса основывается на том, что от заданной системы переходят к эквивалентной системе, которая решается проще, чем исходная система.

Метод Гаусса состоит из двух этапов. Первый этап — это прямой ход, в результате которого расширенная матрица системы путём элементарных преобразований (перестановка уравнений системы, умножение уравнений на число отличное от нуля и сложение уравнений) приводится к ступенчатому виду:

\left(
									\begin{matrix}
									a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\cr
									a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\cr
									\dots  & \dots & \dots & \dots \cr
									a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} 
									\end{matrix}
									\right|
									\left.
									\begin{matrix}
									b_1\cr
									b_2\cr
									\dots\cr
									b_n
									\end{matrix}
									\right)
									\Rightarrow
									\left(
									\begin{matrix}
									1 & c_{12} & \dots & c_{1n}\cr
									0 & 1 & \dots & c_{2n}\cr
									\dots  & \dots & \dots & \dots\cr
									0 & 0 & \dots & 1
									\end{matrix}
									\right|
									\left.
									\begin{matrix}
									d_1\cr
									d_2\cr
									\dots\cr
									d_n
									\end{matrix}
									\right)

На втором этапе (обратный ход) ступенчатую матрицу преобразовывают так, чтобы в первых n столбцах получилась единичная матрица:

\left(
										\begin{matrix}
										1 & 0 & \dots & 0\cr
										0 & 1 & \dots & 0\cr
										\dots  & \dots & \dots & \dots\cr
										0 & 0 & \dots & 1
										\end{matrix}
										\right.\left|
										\begin{matrix}
										x_1\cr
										x_2\cr
										\dots\cr
										x_n
										\end{matrix}
										\right)

Последний, n + 1 столбец этой матрицы содержит решение системы линейных уравнений.

Исходя из выше изложенного, порядок решения задачи в Octave (листинг 5.11) следующий:

  • сформировать матрицу коэффициентов A и вектор свободных членов b заданной системы;
  • сформировать расширенную матрицу системы, объединив A и b;
  • используя функцию rref привести расширенную матрицу к ступенчатому виду;
  • найти решение системы, выделив последний столбец матрицы, полученной в предыдущем пункте;
  • выполнить вычисление Ax - b, если в результате получился нулевой вектор, задача решена верно.
	
>>> disp( ’Решение СЛАУ методом Гаусса’ );
>>> disp( ’Матрица системы:’ ); A=[21 - 51; 1 - 30 - 6; 02 - 12; 14 - 76 ]
>>> disp( ’Вектор свободных коэффициентов:’ ); b = [ 8; 9; - 5; 0 ]
>>> disp( ’Расширенная матрица системы:’ ); C=rref( [A b ] )
>>> disp( ’Размерность матрицы C:’ ); n=size(C)
>>> disp( ’Вектор решений СЛАУ Ax=b’ ); x=C( :, n ( 2 ) )
>>> disp( ’Проверка Ax-b’ ); A* x-b
% _________________________________
Решение СЛАУ методом Гаусса
Матрица системы:
A =
	2  1 -5  1
	1 -3  0 -6
	0  2 -1  2
	1  4 -7  6
Вектор свободных коэффициентов:
b =
	 8
	 9
	-5
	 0
Расширенная матрица системы:
C =
	1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 3.00000
	0.00000 1.00000 0.00000 0.00000 -4.00000
	0.00000 0.00000 1.00000 0.00000 -1.00000
	0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 1.00000
Размерность матрицы С:
n = 4 5
Вектор решений СЛАУ Ax=b
x =
	 3.00000
	-4.00000
	-1.00000
	 1.00000
Проверка Ax-b
ans =
	 0.0000e+00
	 1.7764e-15
	-8.8818e -16
	-1.6653e -15
Листинг 5.11. Решение СЛАУ методом Гаусса (пример 5.10).

Пример 5.11. Решить систему линейных уравнений из примера 5.10 с помощью LU -разложения.

Дадим определение разложения матрицы на множители. Если все определители квадратной матрицы A отличны от нуля, то существуют такие нижняя L и верхняя U треугольные матрицы, что A = LU:

\begin{pmatrix}
							a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\cr
							a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\cr
							\dots  & \dots & \dots & \dots \cr
							a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
							\end{pmatrix}
							=
							\begin{pmatrix}
							1 & 0 & \dots & 0\cr
							l_{21} & 1 & \dots & 0\cr
							\dots  & \dots & \dots & \dots \cr
							l_{n1} & l_{n2} & \dots & 1
							\end{pmatrix}
							\cdot
							\begin{pmatrix}
							u_{11} & u_{12} & \dots & u_{1n}\cr
							0 & u_{22} & \dots & u_{2n}\cr
							\dots  & \dots & \dots & \dots \cr
							0 & 0 & \dots & u_{nn}
							\end{pmatrix}

Если диагональные элементы одной из матриц ненулевые, то такое разложение единственно.

Метод решения системы линейных уравнений с использованием разложения матрицы коэффициентов на множители называют LU–разложением или LU–факторизацией.

Если матрица A исходной системы Ax = b разложена в произведение треугольных матриц L и U, то можно записать уравнение:LUx = b.

Введя вектор вспомогательных переменных y=(y_1,y_2,\dots,y_n)^T, уравнение LUx = b можно переписать в виде системы:\left\{\begin{matrix}Ly&=b\\Ux&=y\end{matrix}\right.

Таким образом решение системы Ax = b с квадратной матрицей коэффициентов свелось к последовательному решению двух систем с треугольными матрицами коэффициентов.

Обратим внимание на тот факт, что выполнение приведённых расчётов можно интерпретировать как преобразование данной системы к треугольной. Иными словами, LU–разложение это другая схема реализации метода Гаусса.

Исходя из средств, которыми располагает Octave, решение поставленной задачи будет выглядеть так (листинг 5.12):

  • сформируем матрицу коэффициентов A и вектор свободных членов b заданной системы;
  • воспользовавшись функцией lu(A), получим матрицы L (нижняя треугольная матрица), U (верхняя треугольная матрица) и P (матрица перестановок или иначе, матрица, которая демонстрирует, каким образом были переставлены строки исходной матрицы при разложении на множители L и U);
  • поскольку в задаче речь идёт о решении системы, то элементы вектора b должны занять места соответствующие строкам матрицы A, для чего необходимо выполнить действие Pb;
  • решим системы уравнений Ly = b относительно y;
  • зная U и y, найдём решение системы Ux = y.
	
>>> disp( ’Решение СЛАУ методом LU-разложения’ );
>>> disp( ’Матрица системы:’ ); A=[21 - 51; 1 - 30 - 6; 02 - 12; 14 - 76 ]
>>> disp( ’Вектор свободных коэффициентов:’ ); b = [ 8; 9; - 5; 0 ]
>>> disp( ’LU-разложение:’ ); [ L, U, P]= lu (A)
>>> Y=rref( [ L P* b ] )
>>> n=size(Y)
>>> y=Y( :, n ( 2 ) )
>>> X=rref( [U y ] )
>>> n=size(X)
>>> x=X( :, n ( 2 ) )
>>> disp( ’Проверка Ax-b’ ); A* x-b
% ___________________________________
Решение СЛАУ методом LU-разложения
Матрица системы:
A =
	2  1 -5  1
	1 -3  0 -6
	0  2 -1  2
	1  4 -7  6
Вектор свободных коэффициентов:
b =
		 8
		 9
		-5
		 0
LU-разложение:
L =
	1.00000  0.00000  0.00000  0.00000
	0.50000  1.00000  0.00000  0.00000
	0.50000  -1.00000 1.00000  0.00000
	0.00000  -0.57143 -0.21429 1.00000
U =
	2.00000 1.00000  -5.00000 1.00000
	0.00000 -3.50000  2.50000 -6.50000
	0.00000 0.00000  -2.00000 -1.00000
	0.00000 0.00000  0.00000  -1.92857
P =
Permutation Matrix
	1 0 0 0
	0 1 0 0
	0 0 0 1
	0 0 1 0
Y =
	1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 8.00000
	0.00000 1.00000 0.00000 0.00000 5.00000
	0.00000 0.00000 1.00000 0.00000 1.00000
	0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 -1.92857
n = 4  5
y =
	 8.0000
	 5.0000
	 1.0000
	-1.9286
X =
	1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 3.00000
	0.00000 1.00000 0.00000 0.00000 -4.00000
	0.00000 0.00000 1.00000 0.00000 -1.00000
	0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 1.00000
n = 4   5
x =
	 3.0000
	-4.0000
	-1.0000
	 1.0000
Проверка Ax-b
ans =
	 0.0000e+00
	 0.0000e+00
	-8.8818e-16
	 6.6613e-16
Листинг 5.12. Решение СЛАУ методом LU-разложения (пример 5.11).

Пример 5.12. Решить систему линейных уравнений

\left\{
							\begin{array}{rcrcrcrcr}
							3x_1&+&x_2&-&x_3&+&2x_4&=&6\\
							-5x_1&+&x_2&+&3x_3&-&4x_4&=&-12\\
							2x_1&+&&&x_3&-&x_4&=&1\\
							x_1&-&5x_2&+&3x_3&+&3x_4&=&3
							\end{array}
							\right.

с помощью QR–разложения.

Квадратную матрицу A можно представить в виде произведения ортогональной матрицы Q и верхней треугольной матрицы R. Использование этого свойства матриц при решении системы линейных уравнений называют методом QR–разложения.

Идея решения системы этим методом аналогична той, что была описана в предыдущей задаче:

Ax = b -> QRx = b -> (Qy = b, Rx = y).

Таким образом, решение системы уравнений с квадратной матрицей коэффициентов сводится к решению двух систем, матрица коэффициентов первой ортогональная, второй — верхняя треугольная.

Как решить эту задачу средствами Octave, показано в листинге 5.13.

	
>>> disp ( ’Решение линейной системы с помощью QR–разложения’ );
>>> A=[3,1, -1,2; -5,1,3, -4;2,0,1, -1;1, -5,3, -3]
>>> b = [ 6; - 1 2; 1; 3 ]
>>> [Q,R]= qr (A)
>>> y=Q’ _ b
>>> X=rref ( [R y ] )
>>> x=X( 1 : 4, 5 : 5 )
% ____________________________________
Решение линейной системы с помощью QR–разложения
A =
	3   1 -1  2
	-5  1  3 -4
	2   0  1 -1
	1  -5  3 -3
b =
	 6
	-12
	 1
	 3
Q =
	0.480384   0.303216   0.358483  0.740797
	-0.800641  0.020214   0.545518  0.246932
	0.320256   0.070750   0.735670  -0.592638
	0.160128   -0.950077  0.180800  0.197546
R =
	6.24500  -1.12090  -2.08167  3.36269
	0.00000  5.07381   -3.02205  3.30505
	0.00000  0.00000   2.55614   -2.74318
	0.00000  0.00000   0.00000   0.49386
y =
	 13.2906
	-1.2028
	-3.1172
	 1.4816
X =
	1.00000  0.00000  0.00000  0.00000  1.00000
	0.00000  1.00000  0.00000  0.00000  -1.00000
	0.00000  0.00000  1.00000  0.00000  2.00000
	0.00000  0.00000  0.00000  1.00000  3.00000
x =
	 1.00000
	-1.00000
	 2.00000
	 3.00000
Листинг 5.13. Решение СЛАУ методом QR-разложения (пример 5.12).

Пример 5.13. Исследовать систему на совместность и если возможно решить её:

\text{а)}&
										\left\{
										\begin{array}{rcrcrcr}
										x_1&+&2x_2&+&2x_3&=&-9\\
										x_1&-&x_2&+&x_3&=&2\\
										3x_1&-&6x_2&-&x_3&=&25
										\end{array}
										\right.\cr
										\text{б)}&
										\left\{
										\begin{array}{rcrcrcrcr}
										x_1&-&5x_2&-&8x_3&+&x_4&=&3\\
										3x_1&+&x_2&-&3x_3&-&5x_4&=&1\\
										x_1&-&7x_2&&&+&2x_4&=&-5\\
										&&11x_2&+&20x_3&-&9x_4&=&2
										\end{array}
										\right.\cr
										\text{в)}&
										\left\{
										\begin{array}{rcrcrcrcr}
										4x_1&+&x_2&-&3x_3&-&x_4&=&0\\
										2x_1&+&3x_2&+&x_3&-&5x_4&=&0\\
										x_1&-&2x_2&-&2x_3&+&3x_4&=&0
										\end{array}
										\right.

Для решения задачи (листинг 5.14) введём исходные данные, то есть матрицу коэффициентов системы и вектор правых частей. Затем выполним вычисление рангов матрицы коэффициентов и расширенной матрицы системы.

В случае а) ранги матриц равны и совпадают с количеством неизвестных r(A|b) = r(A) = 3, значит, система совместна и имеет единственное решение. Вычисление рангов матрицы системы и расширенной матрицы системы б) показывает, что ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы системы r(A|b) > r(A), что означает несовместность системы. В процессе вычислений для системы в) выясняется, что ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы r(A|b) = r(A) = 3, но меньше, чем количество неизвестных системы r(A|b) = r(A) < 4. Значит, система совместна, но имеет бесконечное множество решений.

		
disp( ’Исследование системы на совместность’ );
disp( ’Введите матрицу системы:’ ); A=input ( ’A=’ );
disp( ’Введите вектор свободных коэффициентов:’ ); b=input ( ’b=’ );
disp( ’Размерность системы:’ ); [ n,m]= size (A)
disp( ’Ранг матрицы системы:’ ); r= rank (A)
disp( ’Ранг расширенной матрицы:’ ); R= rank ( [A b ] )
if r==R
disp( ’Система совместна.’ );
if r==m
	disp( ’Система имеет единственное решение.’ );
	disp( ’Решение системы методом обратной матрицы:’ ); x=inv (A) _ b
	disp( ’Проверка Ax-b=0:’ ); A_ x_b
else
	disp( ’Система имеет бесконечно много решений.’ )
end;
else
disp( ’Система не совместна’ );
end;
% Исследование системы а)
Исследование системы на совместность
Введите матрицу системы:
A= [ 1 2 5; 1 -1 3; 3 -6 -1]
Введите вектор свободных коэффициентов:
b= [ - 9; 2; 25 ]
Размерность системы:
n = 3
m = 3
Ранг матрицы системы:
r = 3
Ранг расширенной матрицы:
R = 3
Система совместна.
Система имеет единственное решение.
Решение системы методом обратной матрицы:
x =
	 2.0000
	-3.0000
	-1.0000
Проверка Ax-b=0:
ans =
	0.0000e+00
	8.8818e-16
	3.5527e-15
% Исследование системы б)
Исследование системы на совместность
Введите матрицу системы:
A= [ 1 -5 -8 1; 3 1 -3 -5;1 0 -7 2; 0 11 20 -9]
Введите вектор свободных коэффициентов:
b= [ 3; 1; - 5; 2 ]
Размерность системы:
n = 4
m = 4
Ранг матрицы системы:
r = 3
Ранг расширенной матрицы:
R = 4
Система не совместна
% Исследование системы в)
Исследование системы на совместность
Введите матрицу системы:
A= [ 4 1 -3 -1;2 3 1 -5;1 -2 -2 4 ]
Введите вектор свободных коэффициентов:
b= [ 0; 0; 0 ]
Размерность системы:
n = 3
m = 4
Ранг матрицы системы:
r = 3
Ранг расширенной матрицы:
R = 3
Система совместна.
Система имеет бесконечное множество решений.
Листинг 5.14. Исследование системы на совместность (пример 5.13).
Алексей Игнатьев
Алексей Игнатьев

Возможна ли разработка приложения на Octave с GUI?

Евгений Ветчанин
Евгений Ветчанин

Добрый день. Я самостоятельно изучил курс "Введение в Octave" и хочу получить сертификат. Что нужно сднлать для этого? Нужно ли записаться на персональное обучение с тьютором или достаточно перевести деньги?

Иван Мельников
Иван Мельников
Россия
Ольга Замятина
Ольга Замятина
Россия, Калиниград, РГУ им. И. Канта, 2009