Аддитивные и мультипликативные группы остатков
Теперь мы можем доказать следующее:
Теорема. Остаток k имеет мультипликативный обратный элемент в , если и только если НОД(m, k) = 1.
Доказательство. Предположим, что НОД(m, k) = 1. По предыдущей теореме существуют целые u и v, такие что 1 = mu + kv. Так как mu = 0 тод т, то kv = 1 тод m, а это значит, что v является мультипликативным обращением k в
Для доказательства утверждения в другую сторону предположим, что v является мультипликативным обращением k в . Тогда kv = 1 mod m. Два целых имеют одинаковые остатки по модулю m, если их разность делится на m. Так что kv - 1 = ms для некоторого s и kv-ms= 1. Если d -общий делитель k и m, то он также является делителем kv-ms, откуда следует, что d -делитель единицы и равен 1. Но тогда единственным общим делителем k и m является 1. Это и означает, что НОД(m, k) = 1.
Существует важный специальный случай, когда модулем является простое число р. Можно видеть, что в каждый ненулевой остаток имеет мультипликативный обратный элемент, так что содержит р - 1 элемент.
Теорема (Малая теорема Ферма). Пусть р - простое число. Если а целое, не делящееся на р, то
![а^{р-1} = 1\; mod\; р.](/sites/default/files/tex_cache/b72b2a39c5a05e9413a7de1e9184c416.png)
Доказательство. Применим теорему Лагранжа к мультипликативной группе . Так как порядок этой группы равен р -1, то для каждого элемента а в
имеем
, что в точности совпадает с утверждением теоремы.
Рассмотрим в качестве примера р = 13. Давайте определим порядок элемента g = 2 в
![2^1=2\; 2^4=3\; 2^7=11\; 2^{10}=10\\
2^2=4\; 2^5=6\; 2^8=9\; 2^{11}=7\\
2^3=8\; 2^6=12\; 2^9=5\; 2^{12}=1](/sites/default/files/tex_cache/4ca15392ddac6f2c2324da631f2a8d5b.png)
Следовательно, порядок элемента g = 2 в , это также говорит нам, что
- циклическая группа порядка 12 с генератором 2. Мы можем вычислить порядки всех элементов в
. Так как
, а
, то порядок 3 равен З.
Определение. Изоморфизм двух групп - это взаимно-однозначное соответствие между элементами, сохраняющее групповые операции.
Функция является изоморфизмом между аддитивной группой
и мультипликативной группой
. Она сохраняет групповые операции, так как
.
Мы собираемся установить без доказательства следующий результат:
Теорема. Пусть р - простое число. Группа имеет циклический генератор g, такой, что степени g исчерпывают
. Функция f(х) =gх является изоморфизмом между
и
.
Не существует общего правила, указывающего какой элемент является циклическим генератором. Более того, когда g задано, то функция
является функцией ловушкой (trар-door function) в случае, когда р - большое простое число. Эту функцию просто вычислить, но трудно вычислить обращение f , которое дает остаток h в
, то есть трудно найти такое целое х, для которого
. Так как f - экспоненциальная функция, то ее обращение представляет дискретно логарифмическую функцию:
.
Конечно, можно попытаться организовать полный перебор, но для больших простых чисел эта задача вычислительно невыполнима.
Существует несколько широко используемых криптосистем, основанных на предположении, что дискретная логарифмическая функция трудно вычислима.
В заключение этой лекции:
Теорема (Китайская теорема об остатках). Если НОД(m, s) = 1, то для любой пары остатков а mod m, b mod s существует уникальный остаток х mod ms, такой что х = а mod т и х = b mod s.
Пример. Система
![\left \{
\begin{aligned}
x=2 \;mod\; 7\\
x=5 \;mod\; 8
\end{aligned}
\right](/sites/default/files/tex_cache/62e1048af014a2bd27e6d799686edda3.png)
имеет единственное решение в (В данном примере: а = 2, b = 5, m = 7, s = 8, u = -1, v = 1. Откуда x =asv +bmu = 16-35 = -19 = 37 mod 56)
Доказательство. Так как НОД(m, s) = 1, то существуют u, v, такие что mu + sv = 1. Очевидно:
![mu\; mod\; m=0,\; sv\; mod\; s=0](/sites/default/files/tex_cache/3b2d05fbc1c8bfb3bc590e6634fa1398.png)
Тогда из равенства mu + з = 1 следует:
![su\; mod\; m=1,\; mu\; mod\; s=1](/sites/default/files/tex_cache/8c646c037656348ed3818f275cc8bcf3.png)
Сконструируем решение х следующего вида: х =asv +bmu mod ms. Проверим, что эта формула дает желаемый результат:
![х\; mod\; m = а * 1 + b * 0\; mod\; m = а\; mod\; m,\\
х\; mod\; s= а * 0+ b * 1\; mod\; s= b\; mod\; s.](/sites/default/files/tex_cache/7943b4573deffe9ae118d7ad0fdaf317.png)
Так как число пар остатков (а mod m, b mod s) совпадает с числом остатков в , то решение будет единственным.
Следствие. Предположим НОД(m, s) = 1. Остаток k обратим в , если и только если k mod m обратим в
и k mod s обратим в
.
Следствие. Предположим, что р, q - два простых числа и . Тогда порядок группы
равен (р - 1) (q - 1).
Применяя теорему Лагранжа, получаем аналог малой теоремы Ферма, которая используется в РSА криптосистеме:
Теорема. Предположим, что р, q - два простых числа и . Если g не делится ни на р, ни на q, то:
![g^{(p-1)(q-1)}=1\; mod\; pq](/sites/default/files/tex_cache/5656e314f9ad154744510b6fd25fc430.png)