Силлогистика Аристотеля

- Индия, о высокочтимый мой учитель, находится почти на самом краю земного диска и отделена от этого края безлюдными и неизведанными пустынями, ибо на восток от неё не живут ни звери, ни птицы.

Л. Лагин. Старик Хоттабыч

Сущности и базовые высказывания

В науке порой долго живут идеи и теории, которые оказываются ошибочными. Новые идеи опровергают старые и оказываются опровергнутыми вновь "более верными". Этот процесс вполне соответствует диалектическому закону "отрицания отрицания", на бытовом уровне утверждающего, что недостижимая правда лежит где-то посредине.

Поэтому изучение истории развития науки должно привести к правильным посылкам для создания искусственного интеллекта.

В [2] Д.А. Поспелов подробно и критически рассматривает формальную модель мышления на базе теории силлогистики, известного учёного древности (кстати, учителя Александра Македонского) Аристотеля, жившего в IV веке д.н.э. Он оставил существенный вклад в области теории мышления. Феномен заключается в том, что, возникнув в уме одного человека – Аристотеля, силлогистика не подвергалась серьёзной критике или опровержению. Её только уточняли.

увеличить изображение
Аристотель в Салониках

Студенческая традиция: Если потрогать этот палец, - можно сделаться очень умным.

Целью тогдашних философов было обслуживание софистических рассуждений в учёном споре. Исходное положение спорщика, будь оно истинным или ложным, с высочайшим искусством должно было защищаться до полного признания противной стороной. Как видим, этого не удалось добиться Вольке Костылькову, несмотря на поддержку Старика Хоттабыча.

Философы того времени уже знали, что бывают три типа рассуждений:

Дедуктивные – от общего к частному;

Индуктивные – от частного к общему;

От частного к частному.

Дедуктивный вывод следует считать истинным, достоверным.

На основе двух других типов рассуждений верный вывод проблематичен. Эти типы рассуждений относят к правдоподобным.

Лишь большое количество частных рассуждений способно при обобщении породить гипотезу для индуктивного вывода. Эта гипотеза подтверждается в результате проверки правильности дедуктивных рассуждений на её основе (см. парадигму ученика; мы часто пользуемся выражением: "опыт является критерием истины").

Рассуждения от частного к частному, среди правдоподобных, следует отнести к интуитивным, предполагаемым, способным привести к догадке по аналогии, но никак не к научным. (Какой вывод, кроме эмоционально-поэтического, может следовать из того, что движущийся на вас танк похож на большую черепаху?)

Таким образом, Аристотель исходил из двух положений:

1. Исходные посылки рассуждения являются истинными по определению (но не по факту).
2. Правильно применяемые приёмы перехода от исходных посылок к другим вытекающим из них утверждениям, а также из этих утверждений (и исходных посылок) к новым утверждениям, должны сохранять истинность.

Таким образом, априорно предполагаемые истинные посылки порождают только истинные следствия.

Положения силлогистики Аристотеля позволили средневековому философу Фоме Аквинскому обосновать всю христианскую теологию. Его исходной посылкой являлись Бого-вдохновенные, а потому истинные, сочинения Ветхого и Нового Заветов.

Силлогистика Аристотеля, исходящая из установок сомнительной достоверности, привлекательна и сейчас. Однако то, что допустимо в политике, торговле и средствах массовой информации, недопустимо в экономике и точных науках, в том числе – в сложных системах управления. Поэтому, научить "правильному" вранью так же важно, как научить честности.

Основной логической единицей силлогистики является сущность.

Сущностью называется объект (внимания, изучения), о котором можно что-либо утверждать.

Сущности образуют классы S, P, M, о содержательном смысле которых будет сказано ниже.

Вводится понятие кванторов: всякий и некоторый.

С помощью кванторов строятся шесть схем базовых высказываний, используемых в силлогистике:

1. Всякий S есть P.
2. Всякий S не есть P.
3. Некоторый S есть P.
4. Некоторый S не есть P.
5. S есть P.

6. S не есть P.

   Отметим, что если S определяет сущности, о которых что-то утверждается в высказываниях, то P определяет, что именно о них говорится. Иногда S называют субъектом высказываний, а P – предикатом высказывания (формальным изображением смысла высказывания).

   Если высказывания 1 – 4 относятся к некоторым утверждениям о принадлежности или не принадлежности множеств элементов S некоторому классу элементов, обладающих свойством P, то высказывания 5 и 6 имеют несколько другую природу. Высказывание 5 утверждает, что класс S совпадает с классом элементов, обладающих свойством P, а высказывание 6 говорит о том, что эти классы не совпадают.

   Для конкретных сущностей имеются две схемы базовых высказываний, введённых позднее (в силлогистике Аристотеля их не было):
7. а есть P.
8. а не есть P.

Связки "есть" и "не есть" традиционно применяются в математике, указывая, скорее на суть, на принадлежность или равенство, чем на наличие. Например, "треугольник есть (суть, это) многоугольник", "сумма квадратов катетов есть (равна) квадрат гипотенузы", "Иванов не есть (не принадлежит) множество лысых".

В теории множеств схемы 5 - 8 интерпретируются соответственно: .

Приведённая современная теоретико-множественная интерпретация схем позволяет выполнять две процедуры: а) по высказыванию определить, какие взаимоотношения между сущностями классов S и P реализуются; б) по знаниям о том, какие взаимоотношения между сущностями этих классов имеют место, определять соответствующие высказывания с уверенностью, что они являются истинными.

Рис. 2.1. Жергоновые отношения

Смысл базовых высказываний можно задать наглядно с помощью так называемых жергоновых отношений, показанных на рис. 2.1.

В табл. 1 показано соответствие между схемами базовых высказываний и случаями, приведёнными на рис. 2.1.

Легко заметить, что при отображённой в таблице интерпретации базовых высказываний схемы 3 и 4 аналогичны схемам 5 и 6, то есть эти высказывания с точки зрения истинности не различаются. В других интерпретациях силлогистики они могут принимать значения ИСТИНА и ЛОЖЬ на разных областях жергоновых отношений.

Тогда необходимы специальные процедуры, которые могли бы проверять взаимосвязь классов S и P, а также вхождение конкретной сущности а в класс P. В силлогистике существование таких эффективно работающих процедур постулируется (предполагается с очевидностью).

Приведём ряд примеров высказываний с указанием областей, в которых эти высказывания интерпретируются как истинные.

1. Всякий огородный овощ съедобен (S – класс огородных овощей, P – класс съедобных сущностей).
2. Всякий автомобиль не есть трамвай (S – класс автомобилей, P – класс трамваев).
3. Некоторые люди могут прыгнуть в высоту на два метра (S – класс людей, P – класс живых существ, которые могут прыгнуть в высоту на два метра и более).
4. Некоторые деревья сбрасывают на зиму свою листву (S – класс деревьев, P – класс всех вечнозеленых растений, включающий в себя и те деревья, которые остаются зимой зелёными).
5. Отец и мать есть родители (S – класс, состоящий из двух элементов "отец" и "мать", P – класс с именем "родители", в высказывании содержится утверждение о совпадении по объёму этих двух классов).
6. Приматы не есть все обезьяны (S – класс приматов, P – класс всех обезьян, среди которых и все приматы). Аналогичный пример: люди высокого роста не только те, чей рост выше двух метров (S – класс высоких людей, P – класс тех существ, чей рост выше двух метров).
7. Иванов есть сотрудник нашей лаборатории (а – единичный объект Иванов, P – списочный состав "нашей лаборатории" - конкретной лаборатории, о которой говорится в данном высказывании).
8. Петров не есть член клуба филателистов Москвы (а – единичный объект Петров, P – список членов клуба филателистов Москвы на тот момент времени, когда актуализируется это высказывание)