Силлогистика Аристотеля

Силлогизмы

Силлогизмы у Аристотеля – это выводы второго ранга, т.е. выводы, которые можно сделать на основании двух посылок. В этих посылках фигурируют три класса сущностей S, P и M. По многовековой традиции их называют меньший, больший и средний термин.

Каждая посылка и заключение представляют собой базовые высказывания силлогистики.

В соответствии с тем, как используются S, P и M в высказываниях, в силлогистике выделяют четыре фигуры (рис. 2.2), пронумерованные на рисунке.

увеличить изображение
Рис. 2.2. Фигуры установления истинности силлогизмов

Каков смысл этих фигур?

Возьмём первую фигуру. Для того чтобы породить с её помощью конкретные типы силлогизма (они называются модусами), надо выбрать из четырёх символов A, E, I, O по одному для первой и второй посылок и для заключения. Количество комбинаций расстановки четырёх символов по трём позициям равно 4³ = 64. При четырёх фигурах это даёт 256 различных модусов. Проиллюстрируем несколько возможных модусов для первой фигуры.

Рассмотрим комбинацию AAA. Ей соответствует следующий модус силлогизма:

                           Всякий М есть Р
                           Всякий S есть М
                          _______________
                           Всякий S есть Р

Попробуем проверить правильность этого силлогизма. А именно, если его посылки истинные, то всегда ли будет истинным заключение? Для этого используем жергоновы отношения в табл.1. Первая посылка, как это следует из таблицы, даёт две возможности соотношений М и Р. Эти возможности показаны в верхнем ярусе на рис. 2.3. Поскольку вторая посылка тоже истинна, то на нижнем ярусе того же рисунка показаны области, в которых одновременно выполняются требования к истинности обеих посылок.

Рис. 2.3. Требуемые соотношения для комбинации ААА

Таких возможных областей три, как это видно из рисунка. Для всех трёх областей между S и Р имеются жергоновы отношения такого типа, который обеспечивает истинность заключения силлогизма. Это значит, что при истинности его посылок результат вывода, т.е. переход к заключению, всегда возможен, и заключение будет истинным.

Рассмотрим другой пример, приняв модус первой фигуры EIO

                           Всякий М не есть Р
                           Всякий S есть М
                          _______________
                           Всякий S не есть Р.

Для первой посылки есть одна возможная область истинности, показанная на верхнем ярусе рис. 2.4. При добавлении второй посылки с учётом требований к её истинности можно получить четыре варианта, показанные на втором ярусе рисунка.

Рис. 2.4. Требуемые соотношения для комбинации EIO

Все четыре полученные области являются областями истинности для базового высказывания, соответствующего заключению в этом силлогизме. Следовательно, истинность его посылок всегда обеспечивает истинность заключения.

Рассмотрим, наконец, ещё один пример, взяв модус AEE первой фигуры на рис. 2.2.

                           Всякий М есть Р
                           Всякий S не есть М
                          _______________
                           Всякий S не есть Р.

Соответствующая графическая интерпретация дана на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Соотношения для комбинации AEE

Для первой посылки возможны две области истинности в жергоновых отношениях, показанные на верхнем ярусе рисунка. Добавление второй посылки, показанное на нижнем ярусе рисунка, при первой возможности для первой посылки однозначно, а для второй возможности приводит к трём различным возможностям расположения трёх классов сущностей. А именно, два средних случая на нижнем ярусе приводят к ложности заключения. Следовательно, силлогизм АЕЕ не является правильным. Из истинности его посылок не всегда следует истинность его заключения. Вот пример такого ошибочного заключения:

                           Всякий железный брусок тонет в воде
                           Всякий кирпич не есть железный брусок
                          __________________________________
                           Всякий кирпич не тонет в воде.

Таким образом, имеются силлогизмы, которые всегда обеспечивают правильный вывод, т.е переход к истинному заключению при истинности двух посылок. А есть силлогизмы неправильные, не обеспечивающие такого заключения.

Закономерен вопрос: сколько силлогизмов из 256 возможных являются правильными? Ответ на него и есть ядро силлогистики. Перебирая все возможные модусы, можно обнаружить, что лишь 24 модуса являются правильными, а все остальные могут привести к ошибочному выводу.

Таким образом, правильные модусы образуют ядро теории дедуктивного вывода, в которой от правильных посылок всегда гарантируется переход к правильному заключению. Но, как стало ясно в последующих столетиях, Аристотель создал ядро дедуктивной теории, которое позволило расширить его, сохраняя все основные исходные положения.

На этом мы остановимся в изучении силлогистики Аристотеля. Дело в том, что последующие её расширения (прежде всего, введение операции отрицания) привели к современному состоянию теории "Математическая логика". Как было показано в Лекции 1, именно на её базе (и на базе элементов теории вероятностей) построена математическая логика событий, легшая в основу логических нейронных сетей – средств реализации многих задач искусственного интеллекта.

Краткие итоги

1. В силлогистике Аристотеля впервые и до настоящего времени утвердилось понятие о трёх типах рассуждений: дедуктивных, индуктивных и от частного к частному.
2. Индуктивные или правдоподобные рассуждения способны породить лишь гипотезу, нуждающуюся в подтверждении практикой, опытом.
3. Введение понятий сущностей и их классов, а также кванторов, поднимает силлогистику с уровня исчисления высказываний на уровень исчисления предикатов.
4. Базовые высказывания – предикаты образуют восемь схем, определяющих систему аксиом силлогистики.
5. Теоретико-множественный подход позволяет наглядно представить характер взаимоотношений между сущностями классов – построить жергоновые отношения.
6. На основе кванторов и классов сущностей сформулированы четыре закона (A, E, I, O) силлогистики, породившие кванторы общности и существования современной математической логики.
7. Исследование истинности основных типов силлогизмов исчерпывает требования практического применения силлогистики сегодня.

Вопросы

1. Каковы исходные положения силлогистики Аристотеля?
2. Каковы три типа рассуждений?
3. Почему для практических применений высказывания в силлогистике неотделимы от сущностей и их классов?
4. Используя кванторы, приведите восемь схем базовых высказываний в силлогистике.
5. Объясните понятие жергоновых отношений.
6. Объясните три закона силлогистики.
7. Приведите четыре фигуры силлогизмов Аристотеля и схемы доказательства их истинности. Сколько силлогизмов являются "правильными"?