НОУ ИНТУИТ | Компьютерная математика с Maxima. Лекция 3: Задачи высшей математики с Maxima

Компания ALT Linux

Опубликован: 24.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 550 / 136 | Длительность: 19:00:00

Темы: Математика, Программное обеспечение, Физика

Специальности: Математик, Преподаватель, Физик

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

3.8.6 Численные методы решения ОДУ

Однако в ряде случаев отыскать символьное решение ОДУ в достаточно компактном виде невозможно. В этом случае целесообразно использовать численные методы. Maxima включает пакет расширения dynamics, позволяющий проинтегрировать систему ОДУ методом Рунге-Кутта.

Начиная с версии 5.12, Maxima включает пакет dynamics (его необходимо загружать перед использованием). Помимо метода Рунге- Кутта, пакет dynamics включает ряд функций для построения различных фракталов.

Метод Рунге-Кутта реализует функция . Синтаксис вызова её вызова: $rk([eq], [vars], [init], [t_{range}])$ , где — список правых частей уравнений; vars — список зависимых переменных; init — список начальных значений; $t_{range}$ — список $[t,t_0,t_{end},ht]$ , содержащий символьное обозначение независимой переменной (t) , её начальное значение (t_0) , конечное значение $(t_{end})$ , шаг интегрирования (ht) .

Пример:

Решить ОДУ

$\frac{dx}{dt} = 4x^2-4y^2; \qquad \frac{dy}{dt} = y^2-x^2+1;$

при $t = [0\dots4],\ x(0)=-1,25,\ y(0)=0,75$ .

Используем пакет dynamics.

(%i1)	load(''dynamics'')$

Выбираем шаг интегрирования 0,02.

(%i2)	sol:rk([4*x^2-4*y^2,y^2-x^2+1],[x,y],
	[-1.25,0.75],[t,0,4,0.02]);

В результате решения получаем список значений в формате [[ t,x,y ]].

(%i1)	load("dynamics")$
(%i2)	rp1:4*x^2-4*y^2;

$4\,{x}^{2}-4\,{y}^{2}\leqno{(\%o2) }$

(%i3)	rp2:y^2-x^2+1;

увеличить изображение
Рис. 3.16. Пример графического решения системы ОДУ численным методом

${y}^{2}-{x}^{2}+1\leqno{(\%o3) }$

(%i4)	sol:rk([rp1,rp2],[x,y],[-1.25,0.75],[t,0,4,0.02])$

Список sol не выводим на экран (он достаточно длинный, поэтому завершаем ввод команды символом $).

Для построения графика решения преобразуем полученный список, построив отдельно список значений (список в примере), (список yg1 ), (список yg2 ). При построении графика используем опцию discrete .

(%i5)	len:length(sol);

$201\leqno{(\%o5) }$

(%i6)	xg:makelist(sol[k][1],k,1,len)$
(%i7)	yg1:makelist(sol[k][2],k,1,len)$
(%i8)	yg2:makelist(sol[k][3],k,1,len)$
(%i9)	plot2d([[discrete,xg,yg1],[discrete,xg,yg2]]);

Результат решения представлен на рис. 3.16

Аналогичный, хотя и несколько более сложный пример — моделирование аттрактора Лоренца.

3.9 Ряды Фурье по ортогональным системам

Пакет Мaxima включает достаточно широкие возможности для работы как с классическими тригонометрическими рядами Фурье, так и с рядами Фурье по другим ортогональным системам. Рассмотрим краткое введение, необходимое для понимания приводимых примеров.

3.9.1 Понятие ряда Фурье

Пусть даны две функции f(x) и g(x) , произведение которых интегрируемо на отрезке [ a,b ]. Функции f(x) и g(x) , называются ортогональными на [ a,b ], если выполняется условие

$\int _{a}^{b}f(x)g(x) \rho(x)dx=0,$

где $\rho(x)$ — весовая функция.

Функциональная последовательность $\{\varphi _{n} (x)\}=\{\varphi _{0} (x),\varphi _{1} (x),\dots\varphi _{n} (x),\dots\}$ называется ортогональной на [ a,b ], если выполняется условие:

$\int _{a}^{b}\varphi _{n} \left(x\right) \varphi _{m} \left(x\right) \rho \left(x\right) dx=0, \forall n\ne m.$

Функциональная последовательность $\left\{\varphi _{n} \left(x\right)\right\}$ называется ортонормированной на [ a,b ], если

$\int_{a}^{b}\varphi_{n} \left(x\right)\varphi_{m} \left(x \right) \rho\left(x\right)dx = \begin{cases} 1, &\mbox{если } \, n=m \\ 0, &\mbox{если } \, n \neq m \end{cases}$

Часто используемая последовательность из тригонометрических функций $1,\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),... ,\cos(nx),\sin(nx),..$ . ортогональна на отрезке $[-\pi ,\pi]$ с весовой функцией $\rho(x)=1$ .

Проверим свойство ортогональности, вычисляя соответствующие интегралы. При $m \ne n$ получаем:

$\begin{align*} &\int _{-\pi }^{\pi }1\cdot \sin (nx)dx = -\left. \frac{\cos (nx)}{n} \right|_{-\pi }^{\pi } =0 ,\\ &\int _{-\pi }^{\pi }1\cdot \sin (nx)dx = - \left. \frac{\cos (nx)}{n} \right|_{-\pi }^{\pi } =0 ,\\ &\int _{-\pi }^{\pi }\cos (nx)dx = \left. \frac{1}{n} \sin (nx)\right|_{-\pi }^{\pi } =0, \forall n\in N; \\ &\int _{-\pi }^{\pi }\cos (mx)\cdot \cos (nx)dx = \\ &\frac{1}{2} \int _{-\pi }^{\pi }(\cos ((m-n)x)+ \cos ((m+n)x))dx= \\ &\left. \frac{1}{2} \left(\frac{\sin ((m-n)x)}{m-n} +\frac{\sin (m+n)x}{m+n}\right) \right|_{-\pi }^{\pi } =0 \end{align*}$

Если же m = n , то

$\begin{align*} &\int _{-\pi }^{\pi }\cos ^{2} (mx)dx=\frac{1}{2} \int _{-\pi }^{\pi }\left(1+\cos (2mx)\right)dx= \\ &\frac{1}{2} \left. \left(x+\frac{\sin (2mx)}{2m} \right)\right|_{-\pi }^{\pi } =\pi \end{align*}$

Следовательно, $\int _{-\pi }^{\pi }\cos (mx)\cos (nx)dx=\left\{_{\pi ,\ m=n.}^{0,\ m\ne n;}\right$ .. Аналогичным образом устанавливаем, что $\int _{-\pi }^{\pi }\sin (mx)\sin (nx)dx=\left\{_{\pi ,\ m=n.}^{0,\ m\ne n;}\right$ ..

Остаётся вычислить интеграл $\int _{-\pi }^{\pi }\cos (mx)\sin (nx)dx$ ..

Поскольку подинтегральная функция является нечётной, то

$\int _{-\pi }^{\pi }\cos (mx)\sin (nx)dx=0,$

Как следует из приведённых равенств, любые две различные функции тригонометрической последовательности ортогональны на отрезке $[-\pi ,\pi]$ .

Другой широко используемой последовательностью ортогональный функций является последовательность полиномов Лежандра. Полином Лежандра степени n можно представить через формулу Родрига в виде:

$P_n(z)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dz^n}(z^2-1)^n .$

Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле:

$P_{n+1}(x)=\frac{2n+1}{n+1}xP_n(x)-\frac{n}{n+1}P_{n-1}(x).$

Полиномы Лежандра ортогональны на отрезке [-1, 1] с весом $\rho(x)=1$ :

$\int_{-1}^{1}P_k(x)P_l(x)\,dx = \begin{cases} \frac{2}{2k+1}, &\mbox{если } \, k=l \\ 0, &\mbox{если } \, k \neq l \end{cases}.$

Ещё одной важной последовательностью ортогональных функций является последовательность полиномов Чебышёва. Полиномы Чебышёва первого рода T_n(x) степени n можно определить с помощью равенства:

$T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta),$

или, что почти эквивалентно,

$T_n(z)=\cos(n \arccos(z)).$

Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле:

$\begin{align*} T_0(x)&=1\\ T_1(x)&=x\\ T_{n+1}(x) &= 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \end{align*}$

Полиномы Чебышёва ортогональны на отрезке [-1, 1] с весом $\rho(x)=\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ :

$\int_{-1}^{1}T_k(x)T_l(x) \cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = \begin{cases} \cfrac{\pi}{2}, &\mbox{если } \, k=l\neq 0 \\ \pi, &\mbox{если } \, k=l=0 \\ 0, &\mbox{если } \, k \neq l \end{cases}$

3.9.2 Вычисление коэффициентов тригонометрических рядов Фурье

Члены тригонометрического ряда

$\cfrac{a_{0} }{2} +\displaystyle\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n} \cos (nx)+b_{n} \sin (nx)\right)$

являются периодическими функциями с общим периодом $2\pi$ , поэтому и сумма этого ряда S(x)

также будет периодической функцией с периодом $2\pi$ .

Предположим, что $2\pi$ –периодическую функцию f(x) можно разложить в тригонометрический ряд, равномерно сходящийся на отрезке $[-\pi, \pi]$ .

$\left(x\right)=\frac{a_{0} }{2} +\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n} \cos (nx)+b_{n} \sin (nx)\right)$

( 3.1)

Рассмотрим вопрос об определении коэффициентов a_0, a_n и b_n (n =1, 2,...) . Для этого применим теорему о почленном интегрировании функционального ряда. Проинтегрируем обе части равенства в пределах от $-\pi$ до $\pi$ :

$\int _{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)dx=\frac{a_{0} }{2} \int _{-\pi }^{\pi }dx+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n} \int _{-\pi }^{\pi }\cos (nx)dx+b_{n} \int _{-\pi }^{\pi }\sin (nx)dx \right) .$

Из результатов вычисления интегралов, приведённых выше, следует, что все слагаемые, встречающиеся в правой части под знаком суммы равны нулю, поэтому

$\int _{-\pi }^{\pi }f(x)dx=\pi a_{0} .$

Следовательно,

$a_{0} =\frac{1}{\pi } \int _{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)dx .$

( 3.2)

Для того чтобы найти a_n (n = 1, 2,...) , обе части этого равенства умножим на cos(mx) и проинтегрируем на отрезке $[-\pi,\pi]$ . Поскольку система тригонометрических функций ортогональна, то

$\int _{-\pi }^{\pi }\cos (mx)\cos (nx)dx=0,\ \ \int _{-\pi }^{\pi }\cos (mx)\sin (nx)dx=0$

для $\forall m,n\in {\mathbb N}$ , если $m \ne n$ .

Это означает что все с интегралы, встречающиеся в правой части, будут равны нулю, исключение составляет интеграл, который получается при m = n . Этот интеграл равен $\pi$ . Поэтому

$\int _{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)\cos (nx)dx=a_{n} \int _{-\pi }^{\pi }\cos ^{2} (nx)dx=\pi a_{n} ,$

откуда $a_{n} =\cfrac{1}{\pi } \displaystyle\int _{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)\cos (nx)dx, \, n =1,2,\dots$

Аналогично, умножив обе части равенства на $\sin(mx)$ и проинтегрировав на отрезке $[-\pi; \pi]$ , получаем, что $b_{n} =\cfrac{1}{\pi } \displaystyle\int _{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)\sin ( nx)dx,\ n=1,2,\dots$

Итак, если функцию f(x) можно представить в виде тригонометрического ряда, то коэффициенты a_0, a_n, b_n вычисляются по приведённым формулам и называются коэффициентами Фурье для функции f(x) (а ряд — соответственно рядом Фурье для f(x) ).

Промежуток интегрирования $[-\pi,\pi]$ для периодической с периодом $2\pi$ функции можно заменить любым промежутком $[a,a + 2\pi]$ , $a\in \mathbb R$ , длина которого равна $2\pi$ .

Функция f(x) называется кусочно-гладкой на отрезке [ a,b ] если функция f(x) и её производная на [ a,b ] имеют конечное число точек разрыва первого рода.

Достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье даёт теорема Дирихле: если f(x) — периодическая с периодом $2\pi$ кусочногладкая на $[-\pi; \pi]$ функция, то её ряд Фурье сходится в любой точке этого отрезка и его сумма равна:

значению функции , когда — точка непрерывности функции ;
$\cfrac{f\left(x-0\right)+f(x+0)}{2}$ , когда — точка разрыва функции , при этом
$\cfrac{f(x-0)+f(x+0)}{2} =\cfrac{a_{0} }{2} +\displaystyle\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos (nx)+b_{n} \sin (nx)\right) .$

Отметим, что на практике чаще всего встречаются функции, которые удовлетворяют условиям теоремы Дирихле.

Пример: периодическую с периодом $2\pi$ функцию $f(x) = x$, $ -\pi < x < \pi$ разложить в ряд Фурье.

Вычислим коэффициенты Фурье (используем Maxima):

(%i1)	n:5;

$5\leqno{(\%o1) }$

(%i2)	f(x):=x;

$f\left( x\right) :=x\leqno{(\%o2) }$

(%i3)	a0:1/%pi*integrate(f(x),x,-%pi,%pi);

$0\leqno{(\%o3) }$

(%i4)
for k:1 thru n do a[k]:1/%pi*integrate(f(x)*cos(k*x),x,-%pi,%pi);

$done\leqno{(\%o4) }$

(%i5)
for k:1 thru n do b[k]:1/%pi*integrate(f(x)*sin(k*x),x,-%pi,%pi);

$done\leqno{(\%o5) }$

(%i6)	for k:1 thru n do display(a[k],b[k]);

${a}_{1}=0\ {b}_{1}=2\ {a}_{2}=0\ {b}_{2}=-1\ {a}_{3}=0\ {b}_{3}=\frac{2}{3}\ {a}_{4}=0\ {b}_{4}=-\frac{1}{2}\ {a}_{5}=0\ {b}_{5}=\frac{2}{5}$

$done\leqno{(\%o6) }$

(%i7)
fun(x):=a0/2+sum(a[k]*cos(k*x),k,1,n)+sum(b[k]*sin(k*x),k,1,n);

$fun\left( x\right) :=\frac{a_0}{2}+sum\left( {a}_{k}\,cos\left( k\,x\right) ,k,1,n\right) +sum\left( {b}_{k}\,sin\left( k\,x\right) ,k,1,n\right) \leqno{(\%o7) }$

(%i8)	wxplot2d([f(x),fun(x)], [x,-5,5], [nticks,20]);

Данная функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, её график в сравнении с графиком частичной суммы ряда Фурье fun(x) изображён на рис. 3.17.

3.9.3 Ряды Фурье для чётных и нечётных функций

Предположим, что f(x) — нечётная $2\pi$ –периодическая функция. В этом случае $f(x)\cos(nx)$ — чётная функция, поскольку верно равенство $f(-x)\cos(-nx) = f(x)\cos(nx)$ , a $f(x)\sin(nx)$ — нечётная функция, так как $(-x)\sin(-nx) = -f(x)\sin(nx)$ Поэтому коэффициент ряда Фурье a_n, b_n равны:

$a_{n} =\cfrac{1}{\pi } \displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (nx)dx=\cfrac{2}{\pi } \int _{0}^{\pi }f(x)\cos (nx)dx\ (n=0,1,\dots ),$

$b_{n} =\cfrac{1}{\pi } \displaystyle\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin (nx)dx=0\ (n=1,2,\dots ).$

увеличить изображение
Рис. 3.17. График функции y = f(x) и суммы первых пяти членов ряда Фурье

Следовательно, ряд Фурье чётной функции содержит только косинусы, т.е. $f(x)=\cfrac{a_{0} }{2} +\displaystyle\sum _{n=1}^{\infty }a_{n} \cos (nx)$ .. Аналогично, если f(x) — нечётная функция, то $f(x)\cos(nx)$ — нечётная, а $f(x)\sin(nx)$ — чётная функция.

Поэтому $a_{n} =\cfrac{1}{\pi } \displaystyle\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (nx)=0\ (n=0,1,\dots ),\\ b_{n} =\cfrac{1}{\pi } \displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin (nx)dx= \cfrac{2}{\pi } \displaystyle\int_{0}^{\pi }f(x)\sin (nx)dx\ (n=1,2,\dots )$

Следовательно, ряд Фурье нечётной функции содержит только синусы, т.е. $f(x)=\displaystyle\sum _{n=1}^{\infty }b_{n} \sin (nx)$ .

Пример: Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом $2\pi$ функцию, заданную на отрезке $[-\pi,\pi]$ равенством f(x) = x^2 .

увеличить изображение
Рис. 3.18. График функции (точки) и суммы первых пяти членов ряда Фурье (сплошная линия)

Данная функция y=x^2 является чётной (рис. 3.18), поэтому её ряд Фурье содержит только косинусы. Вычисляем коэффициенты этого ряда: b_n = 0, n = 1, 2,...

Для вычисления коэффициентов a_n ряда Фурье создаём функцию fun , входными параметрами которой являются имя независимой переменной (в примере это ), число суммируемых членов ряда (, в дальнейшем функция вызывается при n = 5 ) и символьное выражение, определяющее функцию, для которой строится разложение (, функция fun вызывается с f = x^2 ).

Пример:

(%i1)	fun(x,n,f):=(for k:0 thru n do
	a[k]:1/%pi*integrate(f*cos(k*x),x,-%pi,%pi),
	a[0]/2 +sum(a[k]*cos(k*x),k,1,n))$

(%i2)	fun(x,5,x^2);

$(\%o2) -\frac{4\,\mathrm{cos}\left( 5\,x\right) }{25}+\frac{\mathrm{cos}\left( 4\,x\right) }{4}-\frac{4\,\mathrm{cos}\left( 3\,x\right) }{9}+\mathrm{cos}\left( 2\,x\right) -4\,\mathrm{cos}\left( x\right) +\frac{{\pi }^{2}}{3}$

Для аналитического вычисления коэффициентов ряда Фурье функции y = |x| функцию fun необходимо немного изменить, предусмотрев различные выражения для подинтегрального выражения на полуинтервалах $[-\pi, 0) и (0,\pi]$ (выражения f_1 и f_2 в списке параметров функции). Текст программы на макроязыке Maxima:

fun12(x,n,f1,f2):=(for k:0 thru n do
a[k]:1/%pi*(integrate(f1*cos(k*x),x,-%pi,0)+
		integrate(f2*cos(k*x),x,0,%pi)),
a[0]/2+sum(a[k]*cos(k*x),k,1,n))$

увеличить изображение
Рис. 3.19. График функции y = |x| (точки) и суммы первых пяти членов ряда Фурье (сплошная линия)

Функция является y = |x| также является чётной (рис. 3.19), поэтому её ряд Фурье содержит только косинусы.

Результаты вычисления коэффициентов ряда Фурье для этой функции:

(%i1)	fun12(x,5,-x,x);

$-\frac{4\,\mathrm{cos}\left( 5\,x\right) }{25\,\pi }-\frac{4\,\mathrm{cos}\left( 3\,x\right) }{9\,\pi }-\frac{4\,\mathrm{cos}\left( x\right) }{\pi }+\frac{\pi }{2}\leqno{(\%o1)}$

Для построения графика функции y = |x| создаём функцию fg(x) , которая использована для построения графика на рис. 3.19.

(%i3)	fg(x):=if x>0 then x else -x$

3.9.4 Разложение функций в ряд Фурье на отрезке [0,π]

Пусть f(x) определена на отрезке $[0,\pi]$ . Для того, чтобы функцию f(x) разложить в ряд Фурье на этом отрезке, доопределим эту функцию произвольным образом на интервале $[-\pi, 0]$ . Рассмотрим два случая:

Функцию f(x) , заданную на $[0,\pi]$ , продолжим на интервал $[-\pi, 0]$ так, что вновь полученная функция f_1(x) , была чётной:

$f_{1} = \begin{cases} f(-x), &\mbox{если } \, x\in [-\pi ,0] \\ f(x), &\mbox{если } \, x\in [0,\pi ] \end{cases}.$

В таком случае говорят, что f(x) продолжена на $[-\pi, 0]$ чётным образом. Поскольку f_1(x) — чётная на $[-\pi,\pi]$ функция, то её ряд Фурье содержит только косинусы:

$f_{1} (x)=\frac{a_{0} }{2} +\sum _{n=1}^{\infty }a_{n} \cos (nx).$

Поскольку на отрезке $[0,\pi]$ имеет место равенство f_1(x) = f(x) , то ряд Фурье для функции f_1(x) будет и рядом Фурье для f(x) на $[0,\pi]$

Функцию f(x) , заданную на $[0,\pi]$ , продолжим на интервал $[-\pi, 0]$ нечётным образом:

$f_{2} = \begin{cases} -f(-x), &\mbox{если } \, x\in [-\pi ,0[ \\ f(x), &\mbox{если } \, x\in [0,\pi] \end{cases}.$

Поскольку f_2(x) — нечётная на $[-\pi,\pi]$ функция, то её ряд Фурье содержит только синусы:

$f_{2} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n} \sin (nx).$

Так как f_2(x) = f(x) при $\forall x\in [0,\pi]$ , то полученный ряд Фурье для f_2(x) и будет рядом Фурье для f(x) на $[0,\pi]$ .

Пример: Функцию f(x) = 2x + 1 , определённую на отрезке $[0,\pi]$ , разложить в ряд Фурье: 1)по косинусам; 2)по синусам.

1) Функцию f(x) продолжим на $[-\pi, 0]$ чётным образом, т.е. составим новую функцию f_1(x) по формуле:

$f_{1}(x) = \begin{cases} -2x+1, &\mbox{если } \, x\in [-\pi ,0[ \\ 2x+1, &\mbox{если } \, x\in [0,\pi] \end{cases}.$

Вычисляем коэффициенты Фурье для этой функции при помощи функции fun12 :

(%i1)	fleft:-2*x+1;

$(\%o1)\quad 1-2\,x$

(%i2	 fright:2*x+1;

$(\%o2)\quad 2\,x+1$

(%i3)	funcos(x,7,fleft,fright);

$(\%o3)\ -\frac{8\,cos\left( 7\,x\right) }{49\,\pi }-\frac{8\,cos\left( 5\,x\right) }{25\,\pi }-\frac{8\,cos\left( 3\,x\right) }{9\,\pi }-\frac{8\,cos\left( x\right) }{\pi }+\frac{2\,{\pi }^{2}+2\,\pi }{2\,\pi }$

увеличить изображение
Рис. 3.20. График функции y = 2x+1, продолженной чётным образом, и суммы семи членов соответствующего ряда

Графическое сопоставление результатов суммирования ряда Фурье и аналитического выражения заданной функции представлены на рис. 3.20

2) Функцию f(x) продолжим на $[-\pi, 0]$ нечётным образом. Составим новую функцию f_2(x) по формуле $f_{2} (x)=\left\{_{2x+1,\ x\in [0,\pi]}^{2x-1,\ x\in [-\pi ,0[} \right.$

Вычислим коэффициенты Фурье для этой функции, используя функцию fun12sin , аналогичную приведённой выше.

Пример:

(%i1)	fleft:2*x-1$
(%i2)	fright:2*x+1$
(%i3)	f(x):=(if x>0 then fright else fleft)$
(%i4)	fun12sin(x,n,f1,f2):=(for k:1 thru n do
	b[k]:1/%pi*(integrate(f1*sin(k*x),x,-%pi,0)
	+integrate(f2*sin(k*x),x,0,%pi)),
	sum(b[k]*sin(k*x),k,1,n))$
(%i5)	fun12sin(x,7,fleft,fright);

$(\%o5)\ \frac{\left( \frac{2\,\left( 2\,\pi +1\right) }{7}+\frac{2}{7}\right) \,sin\left( 7\,x\right) }{\pi }+\frac{\left( \frac{1}{3}-\frac{2\,\pi +1}{3}\right) \,sin\left( 6\,x\right) }{\pi }+ \frac{\left( \frac{2\,\left( 2\,\pi +1\right) }{5}+\frac{2}{5}\right) \,sin\left( 5\,x\right) }{\pi }+\\ \frac{\left( \frac{1}{2}-\frac{2\,\pi +1}{2}\right) \,sin\left( 4\,x\right) }{\pi }+\frac{\left( \frac{2\,\left( 2\,\pi +1\right) }{3}+\frac{2}{3}\right) \,sin\left( 3\,x\right) }{\pi }-2\,sin\left( 2\,x\right) +\frac{\left( 4\,\pi +4\right) \,sin\left( x\right) }{\pi }$

Графическое сопоставление результатов суммирования ряда Фурье и аналитического выражения заданной функции представлены на рис. 3.21

увеличить изображение
Рис. 3.21. Сравнение графика функции y = 2x + 1 при нечётном продолжении и суммы семи членов соответствующего ряда Фурье

Дальше >>

Авторизоваться

Компьютерная математика с Maxima

Задачи высшей математики с Maxima