Моделирование с Maxima

6.1 Общие вопросы моделирования

На сегодняшний день существует обширная литература по различным аспектам моделирования систем, природных, технических и экономических объектов.

Одно из широко применяемых универсальных программных средств для решения задач моделирования — пакет Matlab и его расширения для визуального построения блочных моделей — пакет Simulink. Подход, связанный с построением блочных моделей, развивался на протяжении многих лет, и имеет обширную теоретическую базу (см., например, известный учебник по моделированию систем [23]).

Рассматриваемый в данной книге пакет Maxima не рассчитан на построение блочных моделей технических систем или систем массового обслуживания, но может быть очень полезен для построения и анализа аналитических или эмпирических идентифицируемых моделей.

Построение, классификация и идентификация математических моделей — широкая область научной и практической деятельности, широко освещённая в литературе различного назначения.

Определим модель как изображение существенных сторон реальной системы (или конструируемой системы), в удобной форме отражающее информацию о ней. Модели бывают концептуальные, физические или математические (другие названия: феноменологические, эмпирические и аналитические) в зависимости от того, какая сторона явления в данном случае наиболее существенна, от методов, которые можно использовать при построении модели, от количества и качества имеющейся информации (см. [24]).

По мнению П. Эйкхоффа, при построении модели информация должна быть представлена в удобной форме. Это существенно, так как модель должна создать предпосылки для следующих решений. Если модель слишком сложна, её полезность становится сомнительной. Относительная простота является главной характеристикой модели. Модель представляет собой упрощённое отображение действительности. Во многих случаях, для того чтобы модель была полезной, её сложность должна находиться в определённом соотношении со сложностью описываемого объекта (пример: биологические системы).

По способу представления информации об исследуемом объекте и способу построения модели делятся на следующие группы:

• словесные или вербальные модели (описания объекта моделирования на естественном языке);
• физические модели, предполагающие представление основных свойств объекта моделирования каким-либо материальным объектом (моделью, макетом и т.п.);
• формальные модели, представляющие собой описание объекта моделирования на формальном языке, к этой группе относятся математические модели.

В свою очередь, математические модели делятся на (см. [25]) графические, табличные, алгоритмические, аналитические.

Средствами Maxima можно строить довольно широкий круг различных математических моделей.

Процедуру построения модели во многих источниках называют идентификацией, при этом данный термин часто относится к построению аналитических математических моделей динамических объектов.

Обычно идентификация — многоэтапная процедура. Основные её этапы следующие:

1. Структурная идентификация заключается в определении структуры математической модели на основании теоретических соображений
2. Параметрическая идентификация включает в себя проведение идентифицирующего эксперимента и определение оценок параметров модели по экспериментальным данным.
3. Проверка адекватности — проверка качества модели в смысле выбранного критерия близости выходов модели и объекта.

6.1.1 Аналитические модели

Аналитические модели представляют собой отражение взаимосвязей между переменными объекта в виде математической формулы или группы таких формул. Моделирование основано на двух основополагающих признаках:

• на принципе практической ограниченности количества фундаментальных законов природы;
• на принципе подобия, означающем, что явления различной физической природы могут описываться одинаковыми математическими зависимостями.

Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, интегродифференциальных, конечно-разностных и т.п.) или логических условий. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами (см. [26]):

• аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик;
• численным, когда, не умея решать уравнений в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных;
• качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения).

Наиболее полное исследование процесса функционирования системы можно провести, если известны явные зависимости, связывающие искомые характеристики с начальными условиями, параметрами и переменными системы. Однако такие зависимости удаётся получить только для сравнительно простых систем. При усложнении систем исследование их аналитическим методом наталкивается на значительные трудности, которые часто бывают непреодолимыми. Поэтому, желая использовать аналитический метод, в этом случае идут на существенное упрощение первоначальной модели, чтобы иметь возможность изучить хотя бы общие свойства системы. Такое исследование на упрощённой модели аналитическим методом помогает получить ориентировочные результаты для определения более точных оценок другими методами.

Возможности чисто теоретического построения математической модели уменьшаются с ростом сложности и новизны исследуемого объекта. Впрочем, опыт показывает, что нередко даже для широко используемых на практике и, казалось бы хорошо изученных объектов и процессов, чисто аналитическим путём построить удовлетворительную модель не удаётся и это побуждает исследователя к формированию модели преимущественно на экспериментальной основе, т.е. в классе эмпирических (идентифицируемых) моделей.

По степени соответствия модели реальному объекту модели можно разделить: на состоятельные — опирающиеся на законы, характеризующие объект моделирования в области их применимости; аппроксимации — построенные на основе приближенных или эмпирических формул, характеризующих объект (их, в отличие от первых, называют несостоятельными — см. [26]).

6.1.2 Идентифицируемые модели

В основе всех ныне весьма многочисленных методов идентификации или опытного отождествления модели с объектом-оригиналом, лежит идея мысленного эксперимента с "чёрным ящиком" (Н. Винер). В предельном (теоретическом) случае "чёрный ящик" представляет собой некую систему, о структуре и внутренних свойствах которой неизвестно решительно ничего. Зато входы, т.е. внешние факторы, воздействующие на этот объект, и выходы, представляющие собой реакции на входные воздействия, доступны для наблюдений (измерений) в течение неограниченного времени. Задача заключается в том, чтобы по наблюдаемым данным о входах и выходах выявить внутренние свойства объекта или, иными словами, построить модель (см. [27]).

Модель чёрного ящика является начальным этапом изучения сложных систем.

Исследование объекта моделирования допускает применение двух стратегий:

1. Осуществляется активный эксперимент. На вход подаются специальные сформированные тестовые сигналы, характер и последовательность которых определена заранее разработанным планом. Преимущество: за счёт оптимального планирования эксперимента необходимая информация о свойствах и характеристиках объекта получается при минимальном объёме первичных экспериментальных данных и соответственно при минимальной трудоёмкости опытных работ. Но цена за это достаточно высока: объект выводится из его естественного состояния (или режима функционирования), что не всегда возможно.
2. Осуществляется пассивный эксперимент. Объект функционирует в своём естественном режиме, но при этом организуются систематические измерения и регистрация значений его входных и выходных переменных. Информацию получают ту же, но необходимый объём данных обычно больше, чем в первом случае.

На практике при построении идентифицируемых (эмпирических) моделей часто целесообразна смешанная стратегия эксперимента. При наличии возможности свободного манипулирования параметрами объекта моделирования проводится активный эксперимент. Его результаты дополняют данными пассивного эксперимента, охватывающего все прочие значимые переменные. "Чёрный ящик" — теоретически граничный случай. На деле есть объём исходной информации. На практике приходится иметь дело с "серым" (отчасти прозрачным) ящиком.

Построение модели сводится к следующим этапам (см. [24]):

1. выбор структуры модели из физических соображений;
2. подгонка параметров к имеющимся данным (оценивание);
3. проверка и подтверждение модели (диагностическая проверка);
4. использование модели но её назначению.

Исходя из перечня научных направлений и разнообразия приложений, по этим этапам нельзя дать каких-либо общих рекомендаций. Структура модели выбирается па основе исходной (априорной) информации о системе и преследуемых целях На практике отыскание подходящей модели может быть достаточно трудной задачей даже для узкой прикладной области.

Различают три основных класса постановки задачи идентификации объекта:

1. Для сложных и слабо изученных объектов системного характера достоверные исходные данные о внутренних свойствах и структурных особенностях обычно отсутствуют.

   Поэтому задача идентификации включает в себя как определение внутренней структуры объекта, так и определение зависимостей, связывающих входы и выходы (обобщённого оператора).

   На начальной стадии моделирования строятся эмпирические идентифицируемые модели (на основе статистической обработки экспериментальных результатов).
2. Второй класс задач идентификации характеризуется тем, что имеются априорные данные о структуре моделируемого объекта, в принципе имеются. Однако не определён вклад компонентов объекта в его результирующие характеристики. Задачи этого класса, связанные с уточнением структуры и оценивания параметров, часто встречаются на практике и характерны для объектов и процессов средней сложности, в частности технологических.
3. Третий класс задач связан с относительно простыми и хорошо изученными объектами, структура которых известна точно и речь идёт только о том, чтобы по экспериментальным данным оценить значения всех или некоторых входящих в исследуемую структуру параметров (параметрическая идентификация). Очевидно, что модели данного класса тесно смыкаются с требующими экспериментального доопределения аналитическими моделями и чёткой границы между ними не существует. Это наиболее массовый класс задач.

Независимо от характера решаемой на основе идентификации задачи, построение модели базируется на результатах измерений соответствующих величин переменных.

Реальные свойства подавляющего большинства сложных объектов, а также неизбежные случайные погрешности измерений, лежащих в основе идентификации, придают последней статистический характер, что влечёт за собой необходимость получения больших объёмов первичных экспериментальных данных с их последующей обработкой. Поэтому на практике построение моделей путём идентификации неизбежно связано с использованием компьютеров, как при получении первичных данных (автоматизация эксперимента), так и для их обработки и использования.

В Maxima включено достаточно большое количество средств для решения задач моделирования, параметрической идентификации, исследования моделей.