Задачи высшей математики с Maxima
3.4.2 Выпуклость функции
Определение. График функции называется выпуклым в интервале , если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала (см. рис. 3.8а).
График функции называется вогнутым в интервале , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (см. рис. 3.8б).
3.4.2.1 Необходимые и достаточные условия выпуклости (вогнутости) функции
Для определения выпуклости (вогнутости) функции на некотором интервале можно использовать следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть функция определена и непрерывна на интервале и имеет конечную производную . Для того, чтобы функция была выпуклой (вогнутой) в , необходимо и достаточно, чтобы ее производная убывала (возрастала) на этом интервале.
Теорема 2. Пусть функция определена и непрерывна вместе со своей производной на и имеет внутри непрерывную вторую производную . Для выпуклости (вогнутости) функции в необходимо и достаточно, чтобы внутри
Докажем теорему 2 для случая выпуклости функции .
Необходимость. Возьмем произвольную точку . Разложим функцию около точки в ряд Тейлора
Уравнение касательной к кривой в точке, имеющей абсциссу :
Тогда превышение кривой над касательной к ней в точке равно
Таким образом, остаток равен величине превышения кривой над касательной к ней в точке . В силу непрерывности , если , то и для , принадлежащих достаточно малой окрестности точки , а потому, очевидно, и для любого отличного от значения , принадлежащего к указанной окрестности.
Значит, график функции лежит выше касательной и кривая выпукла в произвольной точке .
Достаточность. Пусть кривая выпукла на промежутке . Возьмем произвольную точку .
Аналогично предыдущему разложим функцию около точки в ряд Тейлора
Превышение кривой над касательной к ней в точке, имеющей абсциссу , определяемой выражением равно
Так как превышение положительно для достаточно малой окрестности точки , то положительна и вторая производная . При стремлении получаем, что для произвольной точки .
Пример. Исследовать на выпуклость (вогнутость) функцию .
Ее производная возрастает на всей числовой оси, значит по теореме 1 функция вогнута на .
Ее вторая производная , поэтому по теореме 2 функция вогнута на .
3.4.2.2 Точки перегиба
Определение. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла и вогнута.
Из этого определения следует, что точки перегиба — это точки точки экстремума первой производной. Отсюда вытекают следующие утверждения для необходимого и достаточного условий перегиба.
Теорема (необходимое условие перегиба). Для того чтобы точка являлась точкой перегиба дважды дифференцируемой функции , необходимо, чтобы ее вторая производная в этой точке равнялась нулю () или не существовала.
Теорема (достаточное условие перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет знак, то есть точка перегиба.
Отметим, что в самой точке вторая производная может не существовать.
Геометрическая интерпретация точек перегиба иллюстрируется рис. 3.9
В окрестности точки функция выпукла и график ее лежит ниже касательной, проведенной в этой точке. В окрестности точки функция вогнута и график ее лежит выше касательной, проведенной в этой точке. В точке перегиба касательная разделяет график функции на области выпуклости и вогнутости.
3.4.2.3 Исследование функции на выпуклость и наличие точек перегиба
1. Найти вторую производную .
2. Найти точки, в которых вторая производная или не существует.
3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости или вогнутости и наличии точек перегиба.
Пример. Исследовать функцию на выпуклость и наличие точек перегиба.
1. .
2. Вторая производная равна нулю при .
3. Вторая производная меняет знак при , значит точка — точка перегиба.
На интервале , значит функция выпукла на этом интервале.
На интервале , значит функция вогнута на этом интервале.
3.4.2.4 Общая схема исследования функций и построения графика
При исследовании функции и построении ее графика рекомендуется использовать следующую схему:
- Найти область определения функции.
- Исследовать функцию на четность — нечетность. Напомним, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
- Найти вертикальные асимптоты.
- Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.
- Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
- Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
- Найти точки пересечения с осями координат.
Исследование функции проводится одновременно с построением ее графика.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
1. Область определения функции — .
2. Исследуемая функция — четная , поэтому ее график симметричен относительно оси ординат.
3. Знаменатель функции обращается в ноль при , поэтому график функции имеет вертикальные асимптоты и .
Точки являются точками разрыва второго рода, так как пределы слева и справа в этих точках стремятся к .
4. Поведение функции в бесконечности.
поэтому график функции имеет горизонтальную асимптоту .5. Экстремумы и интервалы монотонности. Находим первую производную
при , поэтому в этих интервалах функция убывает.
при , поэтому в этих интервалах функция возрастает.
при , поэтому точка является критической точкой.
Находим вторую производную
Так как , то точка является точкой минимума функции .
6. Интервалы выпуклости и точки перегиба.
Функция при , значит на этом интервале функция вогнута.
Функция при , значит на этих интервалах функция выпукла.
Функция нигде не обращается в ноль, значит точек перегиба нет.
7. Точки пересечения с осями координат.
Уравнение , имеет решение , значит точка пересечения графика функции с осью ординат (0, 1).
Уравнение не имеет решения, значит точек пересечения с осью абсцисс нет.
С учетом проведенного исследования можно строить график функции
Схематически график функции изображен на рис. 3.10.
3.4.2.5 Асимптоты графика функции
Определение. Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки () до этой прямой стремится к 0 при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Асимптоты бывают 3 видов: вертикальные (см. рис. 3.11а), горизонтальные (см. рис. 3.11б) и наклонные (см. рис. 3.11в).
Асимптоты находят, используя следующие теоремы:
Теорема 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при (слева) или (справа) равен бесконечности. Тогда прямая является вертикальной асимптотой графика функции .
Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции .
Теорема 2. Пусть функция определена при достаточно больших и существует конечный предел функции
Тогда прямая есть горизонтальная асимптота графика функции .Теорема 3. Пусть функция определена при достаточно больших и существуют конечные пределы
и Тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции .Пример. Найти асимптоты графика дробно-рациональной функции
Если , то дробно-рациональная функция становится линейной
Особая точка . Найдём предел .
Перепишем дробно-рациональную функцию в виде:
Так как то при числитель дробно-рациональной функции не стремится к нулю. Поэтому прямая — асимптота графика дробно-рациональной функции.Найдём предел .
— является горизонтальной асимптотой дробно-рациональной функции.Пример. Найти асимптоты кривой .
Поэтому .Теперь ищем .
Функция имеет наклонную асимптоту .
3.4.2.6 Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теоремы Вейерштрасса
- Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке, т.е. существуют такие постоянные и конечные числа и , что (см. рис. 3.12а).
- Если функция непрерывна на отрезке [], то она достигает на этом отрезке наибольшего значения и наименьшего значения m (см. рис. 3.12б).
- Если функция непрерывна на отрезке [], и значения её на концах отрезка и имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдётся точка , такая, что (см. рис. 3.12в).