Компания ALT Linux
Опубликован: 24.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 550 / 136 | Длительность: 19:00:00
Лекция 3:

Задачи высшей математики с Maxima

3.4.2 Выпуклость функции

Определение. График функции y = f(x) называется выпуклым в интервале (a,b), если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала (см. рис. 3.8а).

График функции y = f(x) называется вогнутым в интервале (a,b), если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (см. рис. 3.8б).

Выпуклые и вогнутые функции.

увеличить изображение
Рис. 3.8. Выпуклые и вогнутые функции.
3.4.2.1 Необходимые и достаточные условия выпуклости (вогнутости) функции

Для определения выпуклости (вогнутости) функции на некотором интервале можно использовать следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале X и имеет конечную производную f'(x). Для того, чтобы функция f(x) была выпуклой (вогнутой) в X, необходимо и достаточно, чтобы ее производная f'(x) убывала (возрастала) на этом интервале.

Теорема 2. Пусть функция f(x) определена и непрерывна вместе со своей производной f'(x) на X и имеет внутри X непрерывную вторую производную f''(x). Для выпуклости (вогнутости) функции f(x) в X необходимо и достаточно, чтобы внутри X

f''(x)\le 0 ;f''(x)\ge 0.

Докажем теорему 2 для случая выпуклости функции f(x).

Необходимость. Возьмем произвольную точку x_0\in X. Разложим функцию f(x) около точки x_0 в ряд Тейлора

f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+r_1(x),
r_1(x)=\frac{(x-x_0)^2}{2}f''(x_0+\theta (x-x_0))\quad (0<\theta<1).

Уравнение касательной к кривой f(x) в точке, имеющей абсциссу x_0:

Y(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).

Тогда превышение кривой f(x) над касательной к ней в точке x_0 равно

f(x)-Y(x)=r_1(x).

Таким образом, остаток r_1(x) равен величине превышения кривой f(x) над касательной к ней в точке x_0. В силу непрерывности f''(x), если f''(x_0) > 0, то и f''(x_0+\theta (x-x_0))>0 для x, принадлежащих достаточно малой окрестности точки x_0, а потому, очевидно, и r_1(x) > 0 для любого отличного от x_0 значения x, принадлежащего к указанной окрестности.

Значит, график функции f(x) лежит выше касательной Y (x) и кривая f(x) выпукла в произвольной точке x_0\in X.

Достаточность. Пусть кривая f(x) выпукла на промежутке X. Возьмем произвольную точку x_0\in X.

Аналогично предыдущему разложим функцию f(x) около точки x_0 в ряд Тейлора

f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+r_1(x),
r_1(x)=\frac{(x-x_0)^2}{2}f''(x_0+\theta (x-x_0))\quad (0<\theta<1).

Превышение кривой f(x) над касательной к ней в точке, имеющей абсциссу x_0, определяемой выражением Y(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) равно

f(x)-Y(x)=r_1(x).

Так как превышение положительно для достаточно малой окрестности точки x_0, то положительна и вторая производная f''(x_0+\theta (x-x_0)). При стремлении x\to x_0 получаем, что для произвольной точки x_0 f''(x_0) > 0.

Пример. Исследовать на выпуклость (вогнутость) функцию y =x^2 - 16x + 32.

Ее производная y' = 2x - 16 возрастает на всей числовой оси, значит по теореме 1 функция вогнута на (-\infty,\infty).

Ее вторая производная y'' = 2 > 0, поэтому по теореме 2 функция вогнута на (-\infty,\infty).

3.4.2.2 Точки перегиба

Определение. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла и вогнута.

Из этого определения следует, что точки перегиба — это точки точки экстремума первой производной. Отсюда вытекают следующие утверждения для необходимого и достаточного условий перегиба.

Теорема (необходимое условие перегиба). Для того чтобы точка x_0 являлась точкой перегиба дважды дифференцируемой функции y = f(x), необходимо, чтобы ее вторая производная в этой точке равнялась нулю (f''(x_0) = 0) или не существовала.

Теорема (достаточное условие перегиба). Если вторая производная f''(x) дважды дифференцируемой функции y = f(x) при переходе через некоторую точку x_0 меняет знак, то x_0 есть точка перегиба.

Отметим, что в самой точке вторая производная f''(x_0) может не существовать.

Геометрическая интерпретация точек перегиба иллюстрируется рис. 3.9

В окрестности точки x_1 функция выпукла и график ее лежит ниже касательной, проведенной в этой точке. В окрестности точки x_2 функция вогнута и график ее лежит выше касательной, проведенной в этой точке. В точке перегиба x_0 касательная разделяет график функции на области выпуклости и вогнутости.

3.4.2.3 Исследование функции на выпуклость и наличие точек перегиба

1. Найти вторую производную f''(x).

2. Найти точки, в которых вторая производная f''(x) = 0 или не существует.

Точки перегиба.

Рис. 3.9. Точки перегиба.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости или вогнутости и наличии точек перегиба.

Пример. Исследовать функцию y(x) = 2x^3 - 6x^2 + 15 на выпуклость и наличие точек перегиба.

1. y' = 6x^2 - 12x; y'' = 12x - 12.

2. Вторая производная равна нулю при x_0 = 1.

3. Вторая производная y''(x) меняет знак при x_0 = 1, значит точка x_0 = 1 — точка перегиба.

На интервале (-\infty,1)\ y''(x)<0, значит функция y(x) выпукла на этом интервале.

На интервале (1,\infty)\ y''(x)>0, значит функция y(x) вогнута на этом интервале.

3.4.2.4 Общая схема исследования функций и построения графика

При исследовании функции и построении ее графика рекомендуется использовать следующую схему:

  1. Найти область определения функции.
  2. Исследовать функцию на четность — нечетность. Напомним, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
  3. Найти вертикальные асимптоты.
  4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.
  5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
  6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
  7. Найти точки пересечения с осями координат.

Исследование функции проводится одновременно с построением ее графика.

Пример. Исследовать функцию y(x)=f(x)=\displaystyle{\frac{1+x^2}{1-x^2}} и построить ее график.

1. Область определения функции — (-\infty,-1)\bigcup(-1,1)\bigcup(1,\infty).

2. Исследуемая функция — четная y(x) = y(-x), поэтому ее график симметричен относительно оси ординат.

3. Знаменатель функции обращается в ноль при x = \pm 1, поэтому график функции имеет вертикальные асимптоты x = -1 и x = 1.

Точки x = \pm 1 являются точками разрыва второго рода, так как пределы слева и справа в этих точках стремятся к \infty.

\lim_{x\to 1-0}y(x)=\lim_{x\to -1+0}y(x)=\infty;
\lim_{x\to 1+0}y(x)=\lim_{x\to -1-0}y(x)=-\infty.

4. Поведение функции в бесконечности.

\lim_{x\to\pm\infty}y(x)=-1,
поэтому график функции имеет горизонтальную асимптоту y = -1.

5. Экстремумы и интервалы монотонности. Находим первую производную

y'(x)=\frac{4x}{(1-x^2)}.

y'(x) < 0 при x\in(-\infty,-1)\bigcup(-1,0), поэтому в этих интервалах функция y(x) убывает.

y'(x) > 0 при x\in(0,1)\bigcup(1,\infty), поэтому в этих интервалах функция y(x) возрастает.

y'(x) = 0 при x = 0, поэтому точка x_0 = 0 является критической точкой.

Находим вторую производную

y''(x)=\frac{4(1+3x^2)}{(1-x^2)^3}.

Так как y''(0) > 0, то точка x_0 = 0 является точкой минимума функции y(x).

6. Интервалы выпуклости и точки перегиба.

Функция y''(x) > 0 при x\in (-1, 1), значит на этом интервале функция y(x) вогнута.

Функция y''(x) < 0 при x\in(-\infty,-1)\bigcup(1,\infty), значит на этих интервалах функция y(x) выпукла.

Функция y''(x) нигде не обращается в ноль, значит точек перегиба нет.

7. Точки пересечения с осями координат.

Уравнение f(0) = y, имеет решение y = 1, значит точка пересечения графика функции y(x) с осью ординат (0, 1).

Уравнение f(x) = 0 не имеет решения, значит точек пересечения с осью абсцисс нет.

С учетом проведенного исследования можно строить график функции

y(x)=\frac{1+x^2}{1-x^2}.

Схематически график функции y(x)=\frac{1+x^2}{1-x^2} изображен на рис. 3.10.

График функции

Рис. 3.10. График функции
3.4.2.5 Асимптоты графика функции

Определение. Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (x,f(x)) до этой прямой стремится к 0 при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Асимптоты бывают 3 видов: вертикальные (см. рис. 3.11а), горизонтальные (см. рис. 3.11б) и наклонные (см. рис. 3.11в).

Асимптоты находят, используя следующие теоремы:

Теорема 1. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x_0 (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при x \to x_0 \to 0 (слева) или x \to x_0 + 0 (справа) равен бесконечности. Тогда прямая является x = x_0 вертикальной асимптотой графика функции y = f(x).

Вертикальные асимптоты x = x_0 следует искать в точках разрыва функции y = f(x).

Теорема 2. Пусть функция y = f(x) определена при достаточно больших x и существует конечный предел функции

\lim_{x\to\mp\infty}f(x)=b.
Тогда прямая y = b есть горизонтальная асимптота графика функции y = f(x).

Асимптоты

Рис. 3.11. Асимптоты

Теорема 3. Пусть функция y = f(x) определена при достаточно больших x и существуют конечные пределы

\lim_{x\to\mp\infty}\frac{f(x)}{x}=k
и
\lim_{x\to\mp\infty}[f(x)-kx]=b.
Тогда прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика функции y = f(x).

Пример. Найти асимптоты графика дробно-рациональной функции

y(x)=\frac{ax+b}{cx+d}; c\ne 0; ad-bc\ne 0.

Если c = 0, то дробно-рациональная функция становится линейной

y(x)=\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}.

Особая точка x = -d/c. Найдём предел \displaystyle{\lim_{x\to -d/c}f(x)}.

Перепишем дробно-рациональную функцию в виде:

y(x)=\frac{ax+b}{c(x+d/c)}
Так как ad - bc \ne 0 то при x \to d/c числитель дробно-рациональной функции не стремится к нулю. Поэтому прямая x = -d/c — асимптота графика дробно-рациональной функции.

Найдём предел \displaystyle{\lim_{x\to \pm\infty}f(x)}.

\lim_{x\to \pm\infty}\frac{ax+b}{cx+d}=
\lim_{x\to \pm\infty}\frac{a+b/x}{c+d/c}=\frac{a}{c}
y = a/c — является горизонтальной асимптотой дробно-рациональной функции.

Пример. Найти асимптоты кривой y(x)=\displaystyle{\frac{x^3}{x^2+1}}.

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2}{x^2+1}=1.
Поэтому k = 1.

Теперь ищем b.

b=\lim_{x\to\pm\infty}\left[\frac{x^3}{x^2+1}-x\right]=
\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{-x}{x^2+1}\right)

Функция y(x)=\displaystyle{\frac{x^3}{x^2+1}} имеет наклонную асимптоту y = x.

3.4.2.6 Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теоремы Вейерштрасса
  1. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существуют такие постоянные и конечные числа m и M, что
    m\le f(x)\le M \quad \text{при}\quad a\le x\le b
    (см. рис. 3.12а).
  2. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке наибольшего значения M и наименьшего значения m (см. рис. 3.12б).
  3. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a,b], и значения её на концах отрезка f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдётся точка \xi\in(a,b), такая, что f(\xi)=0 (см. рис. 3.12в).
Иллюстрации к теоремам Вейерштрасса

увеличить изображение
Рис. 3.12. Иллюстрации к теоремам Вейерштрасса