НОУ ИНТУИТ | Компьютерная математика с Maxima. Лекция 3: Задачи высшей математики с Maxima

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

3.6 Методы теории приближения в численном анализе

Курс высшей математики для студентов технических вузов содержит первичные основы численных методов как свою составную часть. Для специалистов инженерного профиля крайне важным представляется одновременное нахождение решения в замкнутой аналитической форме и получение численных значений результата. Представление функции в виде степенного ряда позволяет свести изучение свойств приближаемой функции к более простой задаче изучения этих свойств у соответствующего аппроксимирующего полиномиального разложения.

Этим объясняется важность всевозможных аналитических и численных приложений полиномиальных приближений для аппроксимации и вычисления функции. Замена функций на их степенные разложения и полиномиальные приближения помогает изучению пределов, анализу сходимости и расходимости рядов и интегралов, приближённому вычислению интегралов и решению дифференциальных уравнений. Степенные ряды и разложения по многочленам Чебышёва широко используются при вычислении значений функции с заданной степенью точности. Они являются эффективным вычислительным средством при решении широкого круга научно-технических задач.

3.6.1 Приближённое вычисление математических функций

Пусть функция f(x) задана на интервале (x_0 - R,x_0 + R) и нам требуется вычислить значение функции f(x) при $x = x_1 \in (x_0-R,x_0+R)$ с заданной точностью $\epsilon > 0$ .

Предположив, что функция f(x) в интервале $x\in (x_0 - R,x_0 + R)$ раскладывается в степенной ряд

$f(x)=\sum^{\infty }_{i=0}u_{i}(x)= \sum^{\infty }_{i=0}a_{i}(x-x_{0})^{i}=a_{0}+ a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+\dots +a_{n}(x-x_{0})^{n}+\dots,$

мы получим, что точное значение f(x_1)

равно сумме этого ряда при x = x_1

$f(x_{1})=\sum^{\infty }_{i=0}a_{i}(x_{1}-x_{0})^{i}=a_{0}+ a_{1}(x_{1}-x_{0})+a_{2}(x_{1}-x_{0})^{2}+\dots+ a_{n}(x_{1}-x_{0})^{n}+\dots,$

а приближённое — частичной сумме S_n(x_1)

$f(x_{1})\approx S_{n}(x_{1})=\sum^{n}_{i=0}a_{i}(x_{1}- x_{0})^{i}=a_{0}+a_{1}(x_{1}-x_{0})+a_{2}(x_{1}-x_{0})^{2}+ \dots+a_{n}(x_{1}-x_{0})^{n}.$

Для погрешности приближения мы имеем выражение в виде остатка ряда

$f(x_{1})-S_{n}(x_{1})=r_{n}(x_{1}),$

где

$r_{n}(x_{1})=\sum^{\infty}_{i=1}x_{1}^{n+i}= a_{n+1}x_{1}^{n+1}+a_{n+2}x_{1}^{n+2}+\dots$

Для знакопеременных рядов с последовательно убывающими членами

$\vert r_{n}(x)\vert=\vert \sum^{\infty}_{i=1}u_{n+i}(x_{1})\vert <\vert u_{n+1}(x_{1})\vert .$

Точность аппроксимации, как правило, возрастает с ростом степени приближающего степенного разложения и тем выше, чем точка ближе к точке x_0 . Для равномерной аппроксимации на интервале наиболее удобными оказываются разложения по многочленам Чебышёва.

Для приближённого нахождения значений функции посредством степенных рядов, как правило, используются её разложения в виде рядов Тейлора.

Ряд Тейлора для функции f(x) — это степенной ряд вида

$\sum^{\infty }_{k=0}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k},$

где числовая функция

предполагается определённой в некоторой окрестности точки x_0

и имеющей в этой точке производные всех порядков.

Многочленами Тейлора для функции f(x) , порядка соответственно, называются частные суммы ряда Тейлора

$\sum^{n}_{k=0}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}.$

Если мы распишем эту формулу, то получим следующее выражение

$f(x_{0})+\frac{f^{\prime}(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+ \frac{f^{\prime\prime}(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+\dots+ \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}.$

Формула Тейлора для функции f(x) — это представление функции в виде суммы её многочлена Тейлора степени n(n = 0, 1, 2,...) и остаточного члена. Другими словами это называют разложением функции f(x) по формуле Тейлора в окрестности точки x_0 . Если действительная функция одного переменного имеет производных в точке x_0 , то её формула Тейлора имеет вид

$f(x)=P_{n}(x)+r_{n}(x),$

где

$P_{n}(x)=\sum^{n}_{k=0}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}$

— многочлен Тейлора степени

, а остаточный член может быть записан в форме Пеано

$r_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n}), x\rightarrow x_{0}.$

Получаем, что

$P_{n}(x)=f(x_{0})+\frac{f^{\prime}(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+ \frac{f^{\prime\prime}(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+\dots+ \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}.$

Если функция дифференцируема n+1 раз в некоторой окрестности точки $x_{0}, (x_{0}-\delta , x_{0}+\delta ),\delta >0$ , то остаточный член в этой окрестности может быть записан в форме Лагранжа

$r_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(x_{0}+\theta (x-x_{0}))}{(n+1)!}(x-x_{0})^{(n+1)} ,$

$0< \theta <1, x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta ).$

Заметим, что при n = 1 выражение для P_1(x) = f(x_0)+ f'(x_0)(x-x_0) совпадает с формулой Лагранжа конечных приращений для функции f(x) .

Формула Тейлора для многочленов. Пусть имеется произвольный многочлен $f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\dots+a_{n}$ .. Тогда при любых и имеет место следующая формула:

$f(x+h)=a_{0}(x+h)^{n}+a_{1}(x+h)^{n-1}+\dots+a_{n}=\\ =f(x)+f^{\prime}(x)h+\frac{f^{\prime\prime}(x)}{2!}h^{2}+\dots+ \frac{f^{(k)}(x)}{k!}h^{k}+\dots+\frac{f^{(n)}(x)}{n!}h^{n}.$

Рядом Маклорена для функции f(x) называется её ряд Тейлора в точке 0 начала координат, то есть таким образом это степенной ряд вида

$f(x)=\sum^{\infty }_{k=0}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k} .$

Таким образом формула Маклорена является частным случаем формулы Тейлора. Предположим, что функция f(x) имеет n производных в точке x = 0 . Тогда в некоторой окрестности этой точки $(-\delta , \delta ), \delta >0$ , функцию f(x) можно представить в виде

$f(x)=\sum^{n}_{k=0}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}+r_{n}(x),$

$x\in (-\delta , \delta ),$

где

— остаточный член

-ого порядка в форме Пеано.

Приведём разложения по формуле Маклорена для основных элементарных математических функций:

$e^{x}&=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\dots+\frac{x^{n}}{n!}+o(x^{n}),\\ sinx&=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+\dots+ (-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n}),\\ cosx&=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\dots+ (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1}),\\ (1+x)^{\alpha }&=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}x^{2}+ \dots+\frac{\alpha (\alpha -1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}x^{n}+o(x^{n}),\\ ln(1+x)&=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\dots+ (-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}+o(x^{n}).$

В Maxima существует специальная команда, позволяющая вычислять ряды и многочлены Тейлора: taylor(expr,x,a,n) . Здесь expr — разлагаемое в ряд выражение, — значение , в окрестности которого выполняется разложение (по степеням x-a ), — параметр, указывающий на порядок разложения и представленный целым положительным числом. Если указывается просто в виде имени переменной, то производится вычисление ряда и многочлена Маклорена.

Пример: Найти многочлен Тейлора 9-ой степени экспоненциальной функции e^x в начале координат.

(%i29)	taylor(exp(x),x,0,9);

$1+x+\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{x}^{3}}{6}+\frac{{x}^{4}}{24}+\frac{{x}^{5}}{120}+\frac{{x}^{6}}{720}+\frac{{x}^{7}}{5040}+\frac{{x}^{8}}{40320}+\frac{{x}^{9}}{362880}+\dots\leqno{(\%o29) }$

Многочлены Тейлора дают наиболее точную аппроксимацию приближаемой функции вблизи точки x_0 . По мере удаления от точки x_0 погрешность возрастает. Для приближения приходится использовать многочлены Тейлора более высокой степени, но иногда и они не помогают в связи с накоплением вычислительной погрешности.

Интересно проследить этот процесс графически. Пакет Maxima предоставляет такую возможность с помощью команды plot .

Пример: Найти число с точностью до 0.001. Положим x =1 . Тогда чтобы вычислить значение , необходимо выполнить серию команд:

Строим разложение функции e^x в ряд Тейлора (до 8 порядка включительно)

(%i1)	t:taylor(exp(x),x,0,8);

$1+x+\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{x}^{3}}{6}+\frac{{x}^{4}}{24}+\frac{{x}^{5}}{120}+\frac{{x}^{6}}{720}+\frac{{x}^{7}}{5040}+\frac{{x}^{8}}{40320}+\dots\leqno{(\%o1) }$

Вычисляем частичную сумму ряда при x = 1 :

(%i2)	ev(t,x=1);

$\frac{109601}{40320}\leqno{(\%o2) }$

Значение в форме с плавающей точкой находим, используя функцию float :

(%i3)	float(%);

$2.71827876984127\leqno{(\%o3) }$

Интересно провести вычисления и сравнить результаты, получающиеся для числа при различных степенях используемого многочлена Тейлора. Получаются следующие результаты:

$k=1, e_{1}=1, k=2, e_{2}=2, k=3, e_{3}=2.5, k=4, e_{4}=\\ 2.666666667,k=5, e_{5}=2.708333333, k=6, e_{6}=2.716666667, e_{7}=\\ 2.718055556,k=8, e_{8}=2.718253968, k=9, e_{9}=2.718281526, e_{10}=\\ 2.718281801.$

Отсюда видно, что значение e с точностью 0.001 вычисляется при использовании многочлена Тейлора степени не ниже 7-ой. Также следует, что число e c точностью 0.000001 или что то же самое $10^{-6}$ вычисляется помощи с многочлена Тейлора 9-ой или более высокой степени.

Оценку остатка ряда произведём по формуле остаточного члена ряда Маклорена

$\vert f(x_{1})-S_{n}(x_{1})\vert =\vert r_{n}(x_{1})\vert = \vert \frac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}\vert ,$

где

находится между 0 и x_1

. Следует $r_{n}(1)=\frac{e^{c}}{(n+1)!}, 0<c<1$ .. Так как $e^{c}<e<3$ , то $r_{n}(1)<\frac{3}{(n+1)!}$ .. При n = 7

имеем $r_{7}<\frac{3}{7!}<0.001, e\approx 2.718$ .

Наряду с командой taylor для разложения функций и выражений в ряды используется команда powerseries (выражение, x,a ) (строится разложение для заданного выражения по переменной в окрестности ). Результатом выполнения команды может быть построение её ряда Тейлора в общей форме, например:

(%i1)	powerseries(sin(x),x,0);

$\sum_{i2=0}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{i2}\,{x}^{2\,i2+1}}{\left( 2\,i2+1\right) !}\leqno{(\%o1) }$

(%i2)	powerseries(sin(x^2),x,0);

$\sum_{i3=0}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{i3}\,{x}^{2\,\left( 2\,i3+1\right) }}{\left( 2\,i3+1\right) !}\leqno{(\%o2) }$

Для разложения в ряд Тейлора функции нескольких переменных используется функция taylor с указанием списка переменных в форме: taylor(expr, [x_1,x_2,... ], [a_1,a_2,... ], [n_1,n_2,... ])

Пример: Найти многочлен Тейлора 6-ой степени от функции $\frac{x}{1+x}$ .

(%i1)	f(x):=x/(1+x);

$f\left( x\right) :=\frac{x}{1+x}\leqno{(\%o1) }$

(%i2)	powerseries(f(x),x,0);

$x\,\sum_{i1=0}^{\infty }{\left( -1\right) }^{i1}\,{x}^{i1}\leqno{(\%o2) }$

(%i3)	taylor(f(x),x,0,6);

$x-{x}^{2}+{x}^{3}-{x}^{4}+{x}^{5}-{x}^{6}+\dots\leqno{(\%o3) }$

Пример: Найти разложение функции $\arccos(x)$ в ряд Маклорена.

(%i6)	taylor(acos(x),x,0,12);

$\frac{\pi }{2}-x-\frac{{x}^{3}}{6}-\frac{3\,{x}^{5}}{40}-\frac{5\,{x}^{7}}{112}-\frac{35\,{x}^{9}}{1152}-\frac{63\,{x}^{11}}{2816}+\dots\leqno{(\%o6) }$

Пример: Найти разложение функции $\exp(x)+1$ по формуле Тейлора 5-ой степени в окрестности точки x = 2 .

(%i7)	taylor(exp(x)+1,x,2,5);

$1+{e}^{2}+{e}^{2}\,\left( x-2\right) +\frac{{e}^{2}\,{\left( x-2\right) }^{2}}{2}+\frac{{e}^{2}\,{\left( x-2\right) }^{3}}{6}+\frac{{e}^{2}\,{\left( x-2\right) }^{4}}{24}+\frac{{e}^{2}\,{\left( x-2\right) }^{5}}{120}+\dots\leqno{(\%o7) }$

Пример: Найти разложение гиперболического косинуса в ряд Маклорена 8-ой степени.

taylor(cosh(x),x,10);

Получаем

$1+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{24}x^{4}+\frac{1}{720}x^{6}+ \frac{1}{40320}x^{8}+O(x^{10}).$

Заметим, что у аналитических функций их разложения в ряд Тейлора существуют всегда. Приведём пример функции, не имеющей разложения в ряд Тейлора и для которой команда taylor не даёт результата: f(x) = 1/x^2 + x .

(%i8)	taylor(1/x^{2}+x,x,0,7);

$\frac{1}{{x}^{{2}}}+x+\dots\leqno{(\%o8) }$

В результате выполнения команды taylor или powerseries получаем исходное выражение $x^{-2} + x$ . В то же время в окрестности других точек, например точки x = 2 , формула Тейлора вычисляется

(%i13)	taylor(1/x^{2}+x,x,2,2);

$\frac{2\,{2}^{{2}}+1}{{2}^{{2}}}-\frac{\left( {2}-2\,{2}^{{2}}\right) \,\left( x-2\right) }{2\,{2}^{{2}}}+\frac{\left( {{2}}^{2}+{2}\right) \,{\left( x-2\right) }^{2}}{8\,{2}^{{2}}}+\dots\leqno{(\%o13) }$

(%i14)	ratsimp(%);

${2}^{-{2}-3}\,\left( \left( {{2}}^{2}+{2}\right) \,{x}^{2}+\left( {2}^{{2}+3}-4\,{{2}}^{2}-8\,{2}\right) \,x+4\,{{2}}^{2}+12\,{2}+8\right) \leqno{(\%o14) }$

Пакет Maxima даёт возможность как нахождения разложений математических функций в ряды Тейлора, так и графической интерпретации точности этих разложений. Подобная графическая визуализация помогает пониманию сходимости многочленов Тейлора к самой приближаемой функции.

Рассмотрим примеры такой графической визуализации для функции $\cos(x)$ . Сравним графики самой функции $\cos(x)$ с графиками её разложений Тейлора различных степеней.

Пример: Сравним функцию $\cos(x)$ c её разложением Маклорена 4-ой степени на интервале [-5, 5].

Построим разложение

(%i15)	appr:taylor(cos(x),x,0,5);

$1-\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{x}^{4}}{24}+\dots\leqno{(\%o15) }$

увеличить изображение
Рис. 3.14. Сопоставление разложения в ряд Маклорена и функции y=cos(x)

Построим график (экранная форма, в формате wxMaxima)

(%i16)	wxplot2d([appr,cos(x)], [x,-5,5], [y,-1.1,1.1],
[nticks,100]);

Выведем график в файл:

(%i17)	plot2d([appr,cos(x)], [x,-5,5], [y,-1.1,1.1],
[gnuplot_preamble, "set grid;"], [gnuplot_term, ps],
[gnuplot_out_file, "appr.eps"])$

Легко заметить, что при небольших значениях графики самой функции и приближающего её разложения практически совпадают, однако при возрастании начинают отличаться.

Пример: Сравним функцию $\cos(x)$ с её разложением Маклорена 8-ой степени на интервале [-5, 5]. Сопоставим результат с предыдущим примером.

Построим разложение более высокой степени:

(%i18)	appr1:taylor(cos(x),x,0, 9);

увеличить изображение
Рис. 3.15. Сопоставление двух разложений в ряд Маклорена и функции y=cos(x)

$1-\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{x}^{4}}{24}-\frac{{x}^{6}}{720}+\frac{{x}^{8}}{40320}+\dots\leqno{(\%o18) }$

Пример показывает, что при использовании разложения Тейлора более высокой степени точность приближения возрастает и удаётся достичь удовлетворительного приближения на более широком интервале. Однако заметим, что степень разложения Тейлора нельзя повышать неограниченно в связи с накапливанием вычислительной погрешности.

Разложение в ряд Тейлора может использоваться и для вычисления пределов (функция tlimit , по синтаксису аналогичная limit ).

Дальше >>

Авторизоваться

Компьютерная математика с Maxima

Задачи высшей математики с Maxima

3.6 Методы теории приближения в численном анализе

3.6.1 Приближённое вычисление математических функций

Вопросы и ответы