Статические и динамические матрицы

Задача 6.1. Найти сумму элементов матрицы, лежащих выше главной диагонали.

Алгоритм решения данной задачи (рис. 6.6) построен следующим образом: обнуляем ячейку для накапливания суммы (переменная ), затем с помощью двух циклов (первый по строкам, второй по столбцам) просматриваем каждый элемент матрицы, но суммируем только в том случае, если этот элемент находится выше главной диагонали (при выполнении условия ).

Рис. 6.6. Блок-схема задачи 6.1 (алгоритм 1).

Рис. 6.7. Блок-схема задачи 6.1 (алгоритм 2).

Текст программы:

#include <iostream>
using namespace std;
int main ( )
{
	int s, i, j, n,m, a [ 20 ] [ 20 ];
	cout<<" N = ";
	cin>>n;
	cout<<" M = ";
	cin>>m;
	cout<<"Ввод матрицы A "<<endl;
	for ( i =0; i<n; i++)
		for ( j =0; j<m; j++)
			cin>>a [ i ] [ j ];
	for ( s= i =0; i<n; i++)
		for ( j =0; j<m; j++)
			//Если элемент лежит выше главной диагонали, то наращиваем сумму.
			if ( j> i ) s+=a [ i ] [ j ];
	cout<<" S = "<<s<<endl;
}

На рис. 6.7 изображён ещё один алгоритм решения данной задачи. В нём проверка условия не выполняется, но, тем не менее, в нём так же суммируются элементы матрицы, находящиеся выше главной диагонали. В нулевой строке заданной матрицы необходимо сложить все элементы, начиная с первого. В первой — все, начиная со второго, в –й строке процесс начнётся с ()–го элемента и так далее. Таким образом, внешний цикл работает от 0 до , а второй от до . Авторы надеются, что читатель самостоятельно составит программу, соответствующую описанному алгоритму.

Задача 6.2. Вычислить количество положительных элементов квадратной матрицы, расположенных по её периметру и на диагоналях. Напомним, что в квадратной матрице число строк равно числу столбцов.

Прежде чем приступить к решению задачи, рассмотрим рис. 6.8, на котором изображена схема квадратных матриц различной размерности.

Из условия задачи понятно, что не нужно рассматривать все элементы заданной матрицы. Достаточно просмотреть первую и последнюю строки, первый и последний столбцы, а так же диагонали. Все эти элементы отмечены на схеме, причём чёрным цветом выделены элементы, обращение к которым может произойти дважды. Например, элемент с номером (0, 0) принадлежит как к нулевой строке, так и к нулевому столбцу, а элемент с номером () находится в последней строке и последнем столбце одновременно. Кроме того, если — число нечётное (на рис. 6.8 эта матрица расположена слева), то существует элемент с номером (), который находится на пересечении главной и побочной диагоналей. При чётном значении (матрица справа на рис. 6.8) диагонали не пересекаются.

увеличить изображение
Рис. 6.8. Рисунок к задаче 6.2.

Итак, разобрав подробно постановку задачи, рассмотрим алгоритм её решения. Для обращения к элементам главной диагонали вспомним, что номера строк этих элементов всегда равны номерам столбцов. Поэтому, если параметр изменяется циклически от 0 до , то A[i][i] — элемент главной диагонали. Воспользовавшись свойством, характерным для элементов побочной диагонали, получим:

Текст программы решения задачи с пояснениями приведён далее.

#include <iostream>
using namespace std;
int main ( )
{
	int k, i, j,N, a [ 20 ] [ 20 ];
	cout<<" N = ";
	cin>>N;
	cout<<"Ввод матрицы A "<<endl;
	for ( i =0; i<N; i++)
		for ( j =0; j<N; j++)
			cin>>a [ i ] [ j ];
	//k — количество положительных элементов матрицы,
	//расположенных по её периметру и на диагоналях.
	for ( i=k=0; i<N; i++)
	{
		if ( a [ i ] [ i ] >0) k++; //Элемент лежит на главной диагонали.
		if ( a [ i ] [ N-i -1]>0)k++; //Элемент лежит на побочной диагонали.
	}
	for ( i =1; i<N-1; i++)
	{
		if ( a [ 0 ] [ i ] >0) k++; //Элемент находится в нулевой строке.
		if ( a [N-1 ] [ i ] >0) k++; //Элемент находится в последней строке.
		if ( a [ i ] [ 0 ] > 0 ) k++; //Элемент находится в нулевом столбце.
		if ( a [ i ] [ N-1]>0)k++; //Элемент находится в последнем столбце.
	}
	//Элемент, находящийся на пересечении диагоналей, подсчитан дважды,
	//надо уменьшить вычисленное значение k на один.
	if ( (N%2!=0)&&(a [N/ 2 ] [N/2 ] >0) ) k--;
	cout<<" k = "<<k<<endl;
}