Компания ALT Linux
Опубликован: 07.03.2015 | Доступ: свободный | Студентов: 1753 / 243 | Длительность: 24:14:00
Лекция 6:

Статические и динамические матрицы

6.4 Решение некоторых задач линейной алгебры

В этом параграфе рассмотрим использование матриц при решении таких задач линейной алгебры, как сложение, вычитание и умножение матриц, решение систем линейных алгебраических уравнений, вычисление определителя и обратной матрицы.

Задача 6.9.Заданы четыре матрицы вещественных чисел A(N,M), B(N,M), C(M,N), D(M,N). Вычислить матрицу C=((A+B)(C-D))^2.

Суммой (разностью) матриц одинаковой размерности A и B называется матрица C, элементы которой получаются сложением C_{i,j}=A_{i,j}+B_{i,j} (вычитанием C_{i,j}=A_{i,j}-B_{i,j}) соответствующих элементов исходных матриц.

Напомним алгоритм умножения матриц на примере

\small $\left(\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&a_{0,2}\\a_{1,0}&a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,0}&a_{2,1}&a_{2,2}\end{matrix}\right)\cdot
\left(\begin{matrix}b_{0,0}&b_{0,1}\\b_{1,0}&b_{1,1}\\b_{2,0}&b_{2,1}\end{matrix}\right)

Воспользовавшись правилом "строка на столбец", получим матрицу:

\left(\begin{matrix}c_{0,0}&c_{0,1}\\c_{1,0}&c_{1,1}\\c_{2,0}&c_{2,1}\end{matrix}\right)=
\left(\begin{matrix}a_{0,0}\cdot
b_{0,0}+a_{0,1}\cdot b_{1,0}+a_{0,2}\cdot b_{2,0}&a_{0,0}\cdot b_{0,1}+a_{0,1}\cdot b_{1,1}+a_{0,2}\cdot
b_{2,1}\\a_{1,0}\cdot b_{0,0}+a_{1,1}\cdot b_{1,2}+a_{1,2}\cdot b_{2,1}&a_{1,0}\cdot b_{0,1}+a_{1,1}\cdot
b_{1,1}+a_{1,2}\cdot b_{2,1}\\a_{2,0}\cdot b_{0,0}+a_{2,1}\cdot b_{1,0}+a_{2,2}\cdot b_{2,0}&a_{2,0}\cdot
b_{0,1}+a_{2,1}\cdot b_{1,1}+a_{2,2}\cdot b_{2,1}\end{matrix}\right)

Произведением матриц A(N,M) и B(M,L) является матрица C(N,L), каждый элемент которой C_{i,j} вычисляется по формуле:

C_{i,j}=\sum\limits_{k=0}^{M-1}A_{i,k}B_{k,j}
где i = 0,N - 1 и j = 0,L - 1.

Операция умножения имеет смысл только в том случае, если количество строк левой матрицы совпадает с количеством столбцов правой. Кроме того, A\cdot B\neq B\cdot A.

При решении задачи будем использовать динамические матрицы и двойные указатели. Напишем следующие функции.

  • float **sum_m(float **A, float **B, int N, int M) — функция формирует матрицу, которая является суммой двух матриц. Здесь A, B — указатели на исходные матрицы, N, M — количество строк и столбцов матриц, функция возвращает указатель на сформированную матрицу, которая является суммой двух матриц A и B.
  • float **minus_m(float **A, float **B, int N, int M) — функция формирует матрицу, которая является разностью двух матриц. Здесь A, B — указатели на исходные матрицы, N, M — количество строк и столбцов матриц, функция возвращает указатель на сформированную матрицу, которая является разностью двух матриц A и B.
  • float **product_m(float **A, float **B, int N, int M, int L) — функция формирует матрицу, которая является произведением двух матриц. Здесь A, B — указатели на исходные матрицы. Матрица A имеет N строк и M столбцов, матрица B имеет M строка и L столбцов, функция возвращает указатель на сформированную матрицу, которая является произведением двух матриц A и B.
  • float **create_m(int N, int M) — функция создаёт матрицу, в которой будет N строк и M столбцов, осуществляет ввод элементов матрицы, функция возвращает указатель на сформированную матрицу.
  • void output_m(float **A, int N, int M) — функция построчного вывода на экран матрицы A, которая имеет N строк и M столбцов.

Далее приведён текст программы с комментариями.

#include <iostream>
using namespace std;
//функция вычисления суммы двух матриц.
float **sum_m( float **A, float **B, int N, int M)
{
	int i, j;
	float **temp; //указатель для хранения результирующей матрицы
	temp=new float * [N ]; //выделение памяти для хранения результирующей матрицы
	for ( i =0; i<N; i++)
		temp [ i ]=new float [M];
	for ( i =0; i<N; i++) //Вычисляем сумму двух матриц
		for ( j =0; j<M; j++)
			temp [ i ] [ j ]=A [ i ] [ j ]+B [ i ] [ j ];
	return temp; //Возвращаем матрицу как двойной указатель
}
//функция вычисления разности двух матриц.
float **minus_m ( float **A, float **B, int N, int M)
{ int i, j;
	float **temp; //указатель для хранения результирующей матрицы
	temp=new float * [N ]; //выделение памяти для хранения результирующей матрицы
	for ( i =0; i<N; i++)
		temp [ i ]=new float [M];
	for ( i =0; i<N; i++) //Вычисляем разность двух матриц
		for ( j =0; j<M; j++)
			temp [ i ] [ j ]=A [ i ] [ j ]-B [ i ] [ j ];
	return temp; //Возвращаем матрицу как двойной указатель
}
//функция вычисления произведения двух матриц.
float **product_m ( float **A, float **B, int N, int M, int L)
{
	int i, j, k;
	float **temp; //указатель для хранения результирующей матрицы
	temp=new float * [N ]; //выделение памяти для хранения результирующей матрицы
	for ( i =0; i<N; i++)
		temp [ i ]=new float [ L ];
	//Вычисляем произведение двух матриц, последовательно формируя все элементы матрицы
	for ( i =0; i<N; i++)
		for ( j =0; j<L; j++)
			//Элемент с индексами i, j — скалярное произведение i-й строки матрицы A
			for ( temp [ i ] [ j ]=k=0;k<M; k++) //и j-го столбца матрицы B
				temp [ i ] [ j ]+=A [ i ] [ k ] *B [ k ] [ j ];
	return temp; //Возвращаем матрицу как двойной указатель
}
//функция создаёт динамическую матрицу вещественных чисел размерности N на M,
//в этой же функции осуществляется и ввод элементов матрицы
float ** create_m ( int N, int M)
{
	int i, j;
	float **temp;
	temp=new float * [N ];
	for ( i =0; i<N; i++)
		temp [ i ]=new float [M];
	cout<<"Ввод матрицы\n ";
	for ( i =0; i<N; i++)
		for ( j =0; j<M; j++)
			cin>>temp [ i ] [ j ];
	return temp;
}
//функция осуществляет построчный вывод матрицы A(N,M)
void output_m ( float **A, int N, int M)
{
	int i, j;
	//Цикл по строкам. По окончанию вывода всех элементов строки — переход на новую строку.
	for ( i =0; i<N; cout<<endl, i++)
		for ( j =0; j<M; j++) //Цикл по переменной j, в котором перебираем строки матрицы
			cout<<A [ i ] [ j ]<<" \t "; //Вывод очередного элемента матрицы и символа табуляции.
}
int main ( int arg c, char ** argv )
{
	float **A, **B, **C, **D, ** result; //указатели для хранения исходных и
	результирующей матриц
	int N,M;
	cout<<" N = "; cin>>N; //Ввод размерностей матрицы
	cout<<" M = "; cin>>M;
	//Выделение памяти и ввод матриц A, B, C, D, обращением к функции create_m.
	A=create_m (N,M);
	B=create_m (N,M);
	C=create_m (M,N);
	D=create_m (M,N);
	//Вычисление результирующей матрицы.
	result=product_m ( product_m (sum_m(A, B,N,M),minus_m (C,D,M,N),N,M,N), product_m
		(sum_m(A, B,N,M),minus_m (C,D,M,N),N,M,N),N,N,N);
	output_m ( result,N,N); //Вывод результирующей матрицы.
	return 0;
}

Далее без комментариев приведена программа решения задачи 6.9 с помощью динамических матриц и обычных указателей3Обращаем внимание читателя, что при использовании одинарных указателей обращение к элементам матрицы происходит быстрее. При обработке матриц большой размерности (более 1000000 элементов) имеет смысл использовать именно одинарные указатели для хранения и обработки матриц. Это позволит ускорить работу программ на 10-15%.. Рекомендуем читателям самостоятельно разобраться с этой версией программы.

#include <iostream>
using namespace std;
float *sum_m( float *A, float *B, int N, int M)
{
	int i, j;
	float *temp;
	temp=new float [N*M];
	for ( i =0; i<N; i++)
		for ( j =0; j<M; j++)
			temp [ i *M+j ]=A [ i *M+j ]+B [ i *M+j ];
	return temp;
}
float *minus_m ( float *A, float *B, int N, int M)
{ int i, j;
	float *temp;
	temp=new float [N*M];
	for ( i =0; i<N; i++)
		for ( j =0; j<M; j++)
			temp [ i *M+j ]=A [ i *M+j ]-B [ i *M+j ];
	return temp;
}
float *product_m ( float *A, float *B, int N, int M, int L)
{
	int i, j, k;
	float *temp;
	temp=new float [N*L ];
	for ( i =0; i<N; i++)
		for ( j =0; j<L; j++)
			for ( temp [ i *L+j ]=k=0;k<M; k++)
				temp [ i *L+j ]+=A [ i *M+k ] *B [ k*L+j ];
	return temp;
}
float *create_m ( int N, int M)
{
	int i, j;
	float *temp;
	temp=new float [N*M];
	cout<<"Ввод матрицы\n ";
	for ( i =0; i<N; i++)
		for ( j =0; j<M; j++)
			cin>>temp [ i *M+j ];
	return temp;
}
void output_m ( float *A, int N, int M)
{
	int i, j;
	for ( i =0; i<N; cout<<endl, i++)
		for ( j =0; j<M; j++)
			cout<<A [ i *M+j ]<<" \t ";
}
int main ( int arg c, char ** argv )
{
	float *A, *B, *C, *D, * result;
	int N,M;
	cout<<" N = "; cin>>N;
	cout<<" M = "; cin>>M;
	A=create_m (N,M);
	B=create_m (N,M);
	C=create_m (M,N);
	D=create_m (M,N);
	result=product_m ( product_m (sum_m(A, B,N,M), minus_m (C,D,M,N),N,M,N),
		product_m (sum_m(A, B,N,M), minus_m (C,D,M,N),N,M,N),N,N,N);
	output_m ( result,N,N);
	return 0;
}
Сергей Радыгин
Сергей Радыгин

Символы кириллицы выводит некорректно. Как сделать чтобы выводился читабельный текст на русском языке?

Тип приложения - не Qt,

Qt Creator 4.5.0 основан на Qt 5.10.0. Win7.

 

Юрий Герко
Юрий Герко

Кому удалось собрать пример из раздела 13.2 Компоновка (Layouts)? Если создавать проект по изложенному алгоритму, автоматически не создается  файл mainwindow.cpp. Если создавать этот файл вручную и добавлять в проект, сборка не получается - компилятор сообщает об отсутствии класса MainWindow. Как правильно выполнить пример?

Alex Arhipov
Alex Arhipov
Россия, Сочи
Николай Катющев
Николай Катющев
Украина, Одесса